Encontrar a função u(r,\theta) definida para 0<r<4 e 0\le\theta\le2\pi que satisfaz a equação diferencial apresentada e assume o valor dado na circunferência r=r_{0}.
Informações relevantes fornecidas:
A equação diferencial é a equação de Laplace em coordenadas polares (no domínio radial 0<r<4).
A condição de contorno é um valor de Dirichlet prescrito na curva r=r_{0}, com u(r_0,\theta)=2+\sin(2\theta)+3\cos(5\theta).
Não foi dado valor numérico para r_0; assume-se 0<r_0<4.]
Passo 2
Ideia do método (explicação didática do porquê e como funciona).
Quando a equação é linear e os coeficientes são independentes de \theta, é natural expandir a solução em série de Fourier em \theta. Isso transforma a PDE em equações ordinárias para as partes radiais — esse é o método da separação de variáveis aplicado usando séries de Fourier.
Explicando passo a passo: proponha uma expansão em harmônicos angulares (cosines e sines) com coeficientes que dependem só de r. Ou seja, escrevemos
Cada termo \cos(n\theta) ou \sin(n\theta) ao ser substituído na equação separa a dependência em \theta e r, gerando para cada n uma EDO para A_n(r) ou B_n(r).
Passo 3
Derivação das equações radiais (mostrando as contas).
Substituindo um termo genérico R(r)\cos(n\theta) na equação
Essa é uma equação padrão (equação de Euler para o caso de harmônicos angulares). Para n\ge1 a equação tem solução geral
R(r)=C_{1}r^{n}+C_{2}r^{-n}.
Para o caso n=0 (o termo constante em \theta), a equação fica
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)=0,
cuja primitiva dá R'(r)=\dfrac{C}{r} e integrando
R(r)=C\ln r + D.
Observação importante (como decidir quais termos manter): termos r^{-n} e \ln r são singulares em r=0. Como o problema está definido até r\to0^+ e, em geral, buscamos soluções regulares (sem singularidade) no centro, devemos descartar os termos singulares. Portanto aceitaremos apenas as potências positivas r^{n} e o termo constante para n=0 (ou seja, descartamos \ln r e r^{-n}) — a menos que o enunciado permitisse singularidade, o que não ocorre aqui.
Passo 4
Escrever a forma geral da solução regular em r=0.
Com os argumentos acima, a forma geral (regular) da solução é
vemos que a série de Fourier do lado direito tem apenas três harmônicos não nulos:
termo constante (coeficiente 2);
termo \sin(2\theta) com coeficiente 1;
termo \cos(5\theta) com coeficiente 3;
todos os outros coeficientes são zero.
Igualando termo a termo (a comparação termo-a-termo é possível porque as funções \{1,\cos(n\theta),\sin(n\theta)\} formam um sistema ortogonal e independente), obtemos:
Para o termo constante:
A_{0}=2.
Para n=2: o coeficiente de \sin(2\theta) é B_{2}\,r_{0}^{2}=1. Logo
B_{2}=\dfrac{1}{r_{0}^{2}}.
Para n=5: o coeficiente de \cos(5\theta) é A_{5}\,r_{0}^{5}=3. Logo
A_{5}=\dfrac{3}{r_{0}^{5}}.
Para todo outro n (exceto 0,2,5) temos A_{n}=0 e B_{n}=0.
Passo 6
Escrever a solução final juntando os coeficientes encontrados (e verificar que satisfaz o contorno).
Substituindo os coeficientes não nulos na expansão geral:
que coincide com a condição de contorno, como deve ser.
Passo 7
Comentário final, interpretação e dica de prova (curto e motivador).
Cada termo r^{n}\cos(n\theta) e r^{n}\sin(n\theta) é harmônico (resolve Laplace) no disco e decresce (quando r<r_0) da circunferência onde os coeficientes foram fixados para o interior do disco.
Em prova: escreva logo a forma geral da solução regular, avalie em r_0 e compare coeficientes (é a maneira mais direta). Se o contorno tivesse termos mais harmônicos, procederia igual, encontrando mais A_n,B_n.
Força aí — está no caminho certo: esse tipo de exercício é quase sempre feito por comparação de séries de Fourier!