Questão 6.
\begin{cases}u_{r r}+\frac{1}{r} u_{r}+\frac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}=0 & 0<r<4 \quad \text { e } \quad 0<\theta<2 \pi \\\ u\left(r_{0}, \theta\right)=2+\sin (2 \theta)+3 \cos (5 \theta) & 0 \leq \theta \leq 2 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá o problema a seguir (peguei exatamente do enunciado):
\begin{cases} u_{r r}+\dfrac{1}{r} u_{r}+\dfrac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}=0, & 0<r<4,\quad 0<\theta<2\pi,\\[6pt] u\bigl(r_{0},\theta\bigr)=2+\sin(2\theta)+3\cos(5\theta), & 0\le\theta\le2\pi. \end{cases}
O que o problema pede (explicitamente):
  • Encontrar a função u(r,\theta) definida para 0<r<4 e 0\le\theta\le2\pi que satisfaz a equação diferencial apresentada e assume o valor dado na circunferência r=r_{0}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial é a equação de Laplace em coordenadas polares (no domínio radial 0<r<4).
  • A condição de contorno é um valor de Dirichlet prescrito na curva r=r_{0}, com u(r_0,\theta)=2+\sin(2\theta)+3\cos(5\theta).
  • Não foi dado valor numérico para r_0; assume-se 0<r_0<4.]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática do porquê e como funciona).
  • Quando a equação é linear e os coeficientes são independentes de \theta, é natural expandir a solução em série de Fourier em \theta. Isso transforma a PDE em equações ordinárias para as partes radiais — esse é o método da separação de variáveis aplicado usando séries de Fourier.
  • Explicando passo a passo: proponha uma expansão em harmônicos angulares (cosines e sines) com coeficientes que dependem só de r. Ou seja, escrevemos
u(r,\theta)=A_{0}(r)+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[A_{n}(r)\cos(n\theta)+B_{n}(r)\sin(n\theta)\bigr].
Cada termo \cos(n\theta) ou \sin(n\theta) ao ser substituído na equação separa a dependência em \theta e r, gerando para cada n uma EDO para A_n(r) ou B_n(r).

Passo 3

Derivação das equações radiais (mostrando as contas).
  • Substituindo um termo genérico R(r)\cos(n\theta) na equação
u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=0
temos u_{\theta\theta}=-n^{2}R(r)\cos(n\theta). Assim a equação reduz-se (dividindo pelo \cos(n\theta)) a
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)-\frac{n^{2}}{r^{2}}R(r)=0.
  • Essa é uma equação padrão (equação de Euler para o caso de harmônicos angulares). Para n\ge1 a equação tem solução geral
R(r)=C_{1}r^{n}+C_{2}r^{-n}.
  • Para o caso n=0 (o termo constante em \theta), a equação fica
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)=0,
cuja primitiva dá R'(r)=\dfrac{C}{r} e integrando
R(r)=C\ln r + D.
  • Observação importante (como decidir quais termos manter): termos r^{-n} e \ln r são singulares em r=0. Como o problema está definido até r\to0^+ e, em geral, buscamos soluções regulares (sem singularidade) no centro, devemos descartar os termos singulares. Portanto aceitaremos apenas as potências positivas r^{n} e o termo constante para n=0 (ou seja, descartamos \ln r e r^{-n}) — a menos que o enunciado permitisse singularidade, o que não ocorre aqui.

Passo 4

Escrever a forma geral da solução regular em r=0.
  • Com os argumentos acima, a forma geral (regular) da solução é
u(r,\theta)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_{n}\,r^{n}\cos(n\theta)+B_{n}\,r^{n}\sin(n\theta)\Bigr),
onde A_{0},A_{n},B_{n} são constantes (números) que teremos de determinar usando a condição na circunferência r=r_{0}.

Passo 5

Relacionar a expansão no raio r_0 com a condição de contorno e extrair coeficientes (passo crítico e didático).
  • Avaliando a solução em r=r_0 obtemos
u(r_0,\theta)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_{n}\,r_{0}^{n}\cos(n\theta)+B_{n}\,r_{0}^{n}\sin(n\theta)\Bigr).
  • Comparando com a condição dada
u(r_0,\theta)=2+\sin(2\theta)+3\cos(5\theta),
vemos que a série de Fourier do lado direito tem apenas três harmônicos não nulos:
  • termo constante (coeficiente 2);
  • termo \sin(2\theta) com coeficiente 1;
  • termo \cos(5\theta) com coeficiente 3;
  • todos os outros coeficientes são zero.
  • Igualando termo a termo (a comparação termo-a-termo é possível porque as funções \{1,\cos(n\theta),\sin(n\theta)\} formam um sistema ortogonal e independente), obtemos:
    • Para o termo constante:
    A_{0}=2.
    • Para n=2: o coeficiente de \sin(2\theta) é B_{2}\,r_{0}^{2}=1. Logo
    B_{2}=\dfrac{1}{r_{0}^{2}}.
    • Para n=5: o coeficiente de \cos(5\theta) é A_{5}\,r_{0}^{5}=3. Logo
    A_{5}=\dfrac{3}{r_{0}^{5}}.
    • Para todo outro n (exceto 0,2,5) temos A_{n}=0 e B_{n}=0.

Passo 6

Escrever a solução final juntando os coeficientes encontrados (e verificar que satisfaz o contorno).
  • Substituindo os coeficientes não nulos na expansão geral:
u(r,\theta)=2 + A_{5}\,r^{5}\cos(5\theta) + B_{2}\,r^{2}\sin(2\theta).
  • Substituindo A_{5}=\dfrac{3}{r_{0}^{5}} e B_{2}=\dfrac{1}{r_{0}^{2}} obtemos
u(r,\theta)=2 + 3\,\frac{r^{5}}{r_{0}^{5}}\cos(5\theta) + \frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\sin(2\theta).
  • Verificação rápida: ao pôr r=r_{0} recupera-se
u(r_{0},\theta)=2+3\cos(5\theta)+\sin(2\theta),
que coincide com a condição de contorno, como deve ser.

Passo 7

Comentário final, interpretação e dica de prova (curto e motivador).
  • Cada termo r^{n}\cos(n\theta) e r^{n}\sin(n\theta) é harmônico (resolve Laplace) no disco e decresce (quando r<r_0) da circunferência onde os coeficientes foram fixados para o interior do disco.
  • Em prova: escreva logo a forma geral da solução regular, avalie em r_0 e compare coeficientes (é a maneira mais direta). Se o contorno tivesse termos mais harmônicos, procederia igual, encontrando mais A_n,B_n.
  • Força aí — está no caminho certo: esse tipo de exercício é quase sempre feito por comparação de séries de Fourier!

Resposta

u(r,\theta)=2+\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\sin(2\theta)+3\,\frac{r^{5}}{r_{0}^{5}}\cos(5\theta)

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