Veja o seguinte exemplo:
Sabendo que o resto da divisão de um número b por 5 é 3 determine o resto da divisão por 5 do número 3 b+5.
Solução: Temos que b=5 a+3. Queremos saber o resto da divisão de 3 b+5, por 5 isto é
3 b+5=5 c+r, onde r=0,1,2,3 ou 4 de b=5 a+3 Rightarrow 3 b=15 a+9
e de r=3 b+5-5 c Rightarrow r=15 a+9+5(1-c) Rightarrow r=5(3 a+1-c)+9 Rightarrow r-9=5(3 a+1-c)
Logo, 5 mid r-9. Substituindo os possíveis valores de r teremos:
ll r=0 & 5 nmid-9 r=1 & 5 nmid 1-9=-8 r=2 & 5 nmid 2-9=-7 r=3 & 5 nmid 3-9=-6 r=4 & 5 mid 4-9=-5
Portanto, o único valor que satisfaz é r=4, sendo este o resto procurado.
Agora, resolva o seguinte exercício: Sabendo que o resto da divisão de um inteiro b por 6 é 5 , calcular o resto da divisão por 6 dos seguintes números:
c) 3 b+6

Passo 1

Resumo: Sabemos que o resto da divisão de um inteiro b por 6 é 5, ou seja, podemos escrever b=6a+5 para algum inteiro a. O conteúdo usado aqui é representação de inteiros pela forma nq+r e propriedades de congruências modulares.

Passo 2

Substituímos na expressão que queremos: desejamos o resto de 3b+6 ao dividir por 6. Substituindo b=6a+5 obtemos:
3b+6=3(6a+5)+6=18a+15+6=18a+21

Passo 3

Para determinar o resto de 18a+21 pela divisão por 6, fatoramos 6:
18a+21=6(3a+3)+3
Como 6(3a+3) é múltiplo de 6, o resto é o 3 que sobra.

Resposta

3

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