- Qual é a velocidade angular (a) do ponteiro dos segundos, (b) do ponteiro dos minutos e (c) do ponteiro das horas de um relógio analógico? Dê as respostas em radianos por segundo.
Passo 1
O enunciado pede a velocidade angular, em radianos por segundo, dos três ponteiros de um relógio analógico:
- (a) ponteiro dos segundos;
- (b) ponteiro dos minutos;
- (c) ponteiro das horas.
Informações relevantes (conhecidas do funcionamento padrão de um relógio analógico):
- O ponteiro dos segundos completa uma volta completa (
radianos) em segundos. - O ponteiro dos minutos completa uma volta completa (
radianos) em minutos, isto é, em segundos. - O ponteiro das horas completa uma volta completa (
radianos) em horas, isto é, em segundos.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Velocidade angular significa quanto ângulo (em radianos) o ponteiro varre por unidade de tempo.
- Uma volta completa corresponde a
radianos. - Se um movimento periódico completa uma volta em um tempo
(período, em segundos), a velocidade angular média (ou constante, no caso dos ponteiros) é dada por:
onde
é a velocidade angular em radianos por segundo e
é o período em segundos.
- Explicando as variáveis:
é a quantidade de radianos percorridos por segundo; é a medida angular de uma volta completa; é o tempo que leva para fazer essa volta.
Passo 3
Calcular a velocidade angular do ponteiro dos segundos:
- Período:
segundos (conforme dado no Passo 1). - Aplicando a fórmula:
- Simplificando a fração:
- Valor aproximado (usando
):
Passo 4
Calcular a velocidade angular do ponteiro dos minutos:
- Período:
segundos (conforme dado no Passo 1). - Aplicando a fórmula:
- Simplificando a fração:
- Valor aproximado:
Passo 5
Calcular a velocidade angular do ponteiro das horas:
- Período:
segundos (conforme dado no Passo 1). - Aplicando a fórmula:
- Simplificando a fração:
- Valor aproximado:
Passo 6
Checagem rápida (sanity check):
- O ponteiro dos segundos deve ser muito mais rápido que o dos minutos, que por sua vez é muito mais rápido que o das horas. Comparando as formas
, e confirma-se essa ordem decrescente, então os resultados fazem sentido.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)