1. Qual é a velocidade angular (a) do ponteiro dos segundos, (b) do ponteiro dos minutos e (c) do ponteiro das horas de um relógio analógico? Dê as respostas em radianos por segundo.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade angular, em radianos por segundo, dos três ponteiros de um relógio analógico:
  • (a) ponteiro dos segundos;
  • (b) ponteiro dos minutos;
  • (c) ponteiro das horas.
Informações relevantes (conhecidas do funcionamento padrão de um relógio analógico):
  • O ponteiro dos segundos completa uma volta completa ( 2\pi radianos) em 60 segundos.
  • O ponteiro dos minutos completa uma volta completa ( 2\pi radianos) em 60 minutos, isto é, em 60\times60=3600 segundos.
  • O ponteiro das horas completa uma volta completa ( 2\pi radianos) em 12 horas, isto é, em 12\times3600=43200 segundos.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Velocidade angular significa quanto ângulo (em radianos) o ponteiro varre por unidade de tempo.
  • Uma volta completa corresponde a \,2\pi radianos.
  • Se um movimento periódico completa uma volta em um tempo T (período, em segundos), a velocidade angular média (ou constante, no caso dos ponteiros) é dada por:
\omega=\frac{2\pi}{T},
onde \omega é a velocidade angular em radianos por segundo e T é o período em segundos.
  • Explicando as variáveis: \omega é a quantidade de radianos percorridos por segundo; 2\pi é a medida angular de uma volta completa; T é o tempo que leva para fazer essa volta.

Passo 3

Calcular a velocidade angular do ponteiro dos segundos:
  • Período: T_{\text{seg}}=60 segundos (conforme dado no Passo 1).
  • Aplicando a fórmula:
\omega_{\text{seg}}=\frac{2\pi}{T_{\text{seg}}}=\frac{2\pi}{60}.
  • Simplificando a fração:
\frac{2\pi}{60}=\frac{\pi}{30}.
  • Valor aproximado (usando \pi\approx3{,}14159265):
\omega_{\text{seg}}\approx\frac{3{,}14159265}{30}\approx0{,}104719755\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calcular a velocidade angular do ponteiro dos minutos:
  • Período: T_{\text{min}}=60\\ \text{minutos}=60\times60=3600 segundos (conforme dado no Passo 1).
  • Aplicando a fórmula:
\omega_{\text{min}}=\frac{2\pi}{T_{\text{min}}}=\frac{2\pi}{3600}.
  • Simplificando a fração:
\frac{2\pi}{3600}=\frac{\pi}{1800}.
  • Valor aproximado:
\omega_{\text{min}}\approx\frac{3{,}14159265}{1800}\approx0{,}001745329\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Calcular a velocidade angular do ponteiro das horas:
  • Período: T_{\text{hor}}=12\\ \text{horas}=12\times3600=43200 segundos (conforme dado no Passo 1).
  • Aplicando a fórmula:
\omega_{\text{hor}}=\frac{2\pi}{T_{\text{hor}}}=\frac{2\pi}{43200}.
  • Simplificando a fração:
\frac{2\pi}{43200}=\frac{\pi}{21600}.
  • Valor aproximado:
\omega_{\text{hor}}\approx\frac{3{,}14159265}{21600}\approx0{,}000145444\\ \text{rad/s}.

Passo 6

Checagem rápida (sanity check):
  • O ponteiro dos segundos deve ser muito mais rápido que o dos minutos, que por sua vez é muito mais rápido que o das horas. Comparando as formas \dfrac{\pi}{30}, \dfrac{\pi}{1800} e \dfrac{\pi}{21600} confirma-se essa ordem decrescente, então os resultados fazem sentido.

Resposta

(a) \omega_{\text{seg}}=\dfrac{\pi}{30}\\ \text{rad/s}\approx0,10472\\ \text{rad/s}
(b) \omega_{\text{min}}=\dfrac{\pi}{1800}\\ \text{rad/s}\approx0,0017453\\ \text{rad/s}
(c) \omega_{\text{hor}}=\dfrac{\pi}{21600}\\ \text{rad/s}\approx0,00014544\\ \text{rad/s}

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