- Um disco gira em torno do eixo central partindo do repouso com aceleração angular constante. Em certo instante, está girando a
; após 60 revoluções, a velocidade angular é
. Calcule (a) a aceleração angular, (b) o tempo necessário para o disco completar 60 revoluções, (c) o tempo necessário para o disco atingir a velocidade angular de
e (d) o número de revoluções do disco desde o repouso até o instante em que atinge uma velocidade angular de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado) e pede quatro coisas:
- Está dado que o disco parte do repouso, ou seja a velocidade angular inicial é
. - Em certo instante a velocidade angular é
. - Após
revoluções (ou seja variação angular ) a velocidade angular é .
O enunciado pede:
(a) a aceleração angular ;
(b) o tempo necessário para o disco completar as revoluções referidas (o intervalo em que a velocidade vai de
para
);
(c) o tempo necessário para atingir partindo do repouso;
(d) o número de revoluções do repouso até o instante em que atinge .
(a) a aceleração angular
(b) o tempo necessário para o disco completar as
(c) o tempo necessário para atingir
(d) o número de revoluções do repouso até o instante em que atinge
Observação sobre unidades: como os dados estão em revoluções por segundo e revoluções, dá para trabalhar diretamente com unidades “rev” e “rev/s” (isso evita ficar multiplicando por
). No final eu também mostro a aceleração em
(multiplicando por
) para quem preferir o SI.
Passo 2
Fórmulas básicas de cinemática rotacional com aceleração angular constante (essas são análogas às da cinemática retilínea, só trocando posição por ângulo, velocidade por velocidade angular etc.). Vou apresentar e explicar cada símbolo.
-
é a velocidade angular (unidade: ou ). -
é a aceleração angular constante (unidade: ou ). -
é o deslocamento angular (unidade: revoluções ou radianos). -
é o tempo (unidade: s).
As três equações úteis são (todas válidas para aceleração angular constante):
Explicando: a primeira relaciona velocidade e tempo; a segunda dá o deslocamento angular em função do tempo; a terceira elimina o tempo e relaciona velocidades com deslocamento angular — é útil quando se conhece
e as velocidades, sem saber
.
Passo 3
Cálculo da aceleração angular
(item a).
Justificativa do método: temos e
, então a equação que envolve
e
é a mais direta:
Justificativa do método: temos
Isolando
:
Agora substituo os valores usando unidades em revoluções (assim
sai em
):
Conversão para unidades do SI (radianos por segundo ao quadrado): para passar de revoluções para radianos multiplica-se por
, logo
Passo 4
Tempo para completar as
revoluções do intervalo onde a velocidade vai de
para
(item b).
Uso a equação que relaciona velocidade e tempo:
Uso a equação que relaciona velocidade e tempo:
Substituindo com
:
(Verificação rápida: daria o mesmo se trabalhasse em rad/s.)
Passo 5
Tempo para atingir
partindo do repouso (item c).
Partindo de , uso
, então
Partindo de
Passo 6
Número de revoluções desde o repouso até o instante em que atinge
(item d).
Usar a equação que relaciona velocidades ao deslocamento angular:
Usar a equação que relaciona velocidades ao deslocamento angular:
Como
:
Se quiser em radianos:
.
Passo 7
Pequena verificação de consistência (para dar confiança): tempo total para ir do repouso até
é
. Repare que
, ou seja, os tempos somam corretamente — ótimo sinal de que os cálculos estão coerentes.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)