1. Um disco gira em torno do eixo central partindo do repouso com aceleração angular constante. Em certo instante, está girando a 10 \mathrm{rev} / \mathrm{s}; após 60 revoluções, a velocidade angular é 15 \mathrm{rev} / \mathrm{s}. Calcule (a) a aceleração angular, (b) o tempo necessário para o disco completar 60 revoluções, (c) o tempo necessário para o disco atingir a velocidade angular de 10 \mathrm{rev} / \mathrm{s} e (d) o número de revoluções do disco desde o repouso até o instante em que atinge uma velocidade angular de 10 \mathrm{rev} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado) e pede quatro coisas:
  • Está dado que o disco parte do repouso, ou seja a velocidade angular inicial é \omega_0=0.
  • Em certo instante a velocidade angular é \omega_1=10\\ \text{rev/s}.
  • Após \;60 revoluções (ou seja variação angular \Delta\theta=60\\ \text{rev}) a velocidade angular é \omega_2=15\\ \text{rev/s}.
O enunciado pede:
(a) a aceleração angular \alpha;
(b) o tempo necessário para o disco completar as 60 revoluções referidas (o intervalo em que a velocidade vai de 10 para 15\\ \text{rev/s});
(c) o tempo necessário para atingir \,10\\ \text{rev/s} partindo do repouso;
(d) o número de revoluções do repouso até o instante em que atinge 10\\ \text{rev/s}.
Observação sobre unidades: como os dados estão em revoluções por segundo e revoluções, dá para trabalhar diretamente com unidades “rev” e “rev/s” (isso evita ficar multiplicando por 2\pi). No final eu também mostro a aceleração em \text{rad}\,\text{s}^{-2} (multiplicando por 2\pi) para quem preferir o SI.

Passo 2

Fórmulas básicas de cinemática rotacional com aceleração angular constante (essas são análogas às da cinemática retilínea, só trocando posição por ângulo, velocidade por velocidade angular etc.). Vou apresentar e explicar cada símbolo.
  • \omega é a velocidade angular (unidade: \text{rev/s} ou \text{rad/s}).
  • \alpha é a aceleração angular constante (unidade: \text{rev/s}^2 ou \text{rad/s}^2).
  • \theta é o deslocamento angular (unidade: revoluções ou radianos).
  • t é o tempo (unidade: s).
As três equações úteis são (todas válidas para aceleração angular constante):
\omega = \omega_0 + \alpha t
\theta = \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2
\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta
Explicando: a primeira relaciona velocidade e tempo; a segunda dá o deslocamento angular em função do tempo; a terceira elimina o tempo e relaciona velocidades com deslocamento angular — é útil quando se conhece \Delta\theta e as velocidades, sem saber t.

Passo 3

Cálculo da aceleração angular \alpha (item a).
Justificativa do método: temos \omega_1,\;\omega_2 e \Delta\theta, então a equação que envolve \omega^2 e \theta é a mais direta:
\omega_2^2=\omega_1^2+2\alpha\Delta\theta.
Isolando \alpha:
\alpha=\dfrac{\omega_2^2-\omega_1^2}{2\Delta\theta}.
Agora substituo os valores usando unidades em revoluções (assim \alpha sai em \text{rev/s}^2):
\alpha=\dfrac{15^2-10^2}{2\cdot60}=\dfrac{225-100}{120}=\dfrac{125}{120}=\dfrac{25}{24}\\ \text{rev/s}^2.
Conversão para unidades do SI (radianos por segundo ao quadrado): para passar de revoluções para radianos multiplica-se por 2\pi, logo
\alpha_{\text{(rad/s}^2)}=\dfrac{25}{24}\cdot 2\pi=\dfrac{25\pi}{12}\\ \text{rad}\,\text{s}^{-2}\approx 6,544\\ \text{rad}\,\text{s}^{-2}.

Passo 4

Tempo para completar as 60 revoluções do intervalo onde a velocidade vai de 10 para 15\\ \text{rev/s} (item b).
Uso a equação que relaciona velocidade e tempo:
\omega_2=\omega_1+\alpha t \quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{\omega_2-\omega_1}{\alpha}.
Substituindo com \alpha=\dfrac{25}{24}\\ \text{rev/s}^2:
t=\dfrac{15-10}{25/24}= \dfrac{5}{25/24}=5\cdot\dfrac{24}{25}=\dfrac{120}{25}=\dfrac{24}{5}=4,8\\ \text{s}.
(Verificação rápida: daria o mesmo se trabalhasse em rad/s.)

Passo 5

Tempo para atingir \,10\\ \text{rev/s} partindo do repouso (item c).
Partindo de \omega_0=0, uso \omega=\omega_0+\alpha t, então
t=\dfrac{\omega}{\alpha}=\dfrac{10}{25/24}=10\cdot\dfrac{24}{25}=\dfrac{240}{25}=9,6\\ \text{s}.

Passo 6

Número de revoluções desde o repouso até o instante em que atinge 10\\ \text{rev/s} (item d).
Usar a equação que relaciona velocidades ao deslocamento angular:
\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\theta \quad\Rightarrow\quad \theta=\dfrac{\omega^2-\omega_0^2}{2\alpha}.
Como \omega_0=0:
\theta=\dfrac{10^2}{2\cdot(25/24)}=\dfrac{100}{50/24}=100\cdot\dfrac{24}{50}=48\\ \text{revoluções}.çõ
Se quiser em radianos: \theta_{\text{rad}}=48\cdot 2\pi=96\pi\\ \text{rad}.

Passo 7

Pequena verificação de consistência (para dar confiança): tempo total para ir do repouso até 15\\ \text{rev/s} é t=15/(\,25/24)=15\cdot24/25=14,4\\ \text{s}. Repare que 9,6+4,8=14,4\\ \text{s}, ou seja, os tempos somam corretamente — ótimo sinal de que os cálculos estão coerentes.

Resposta

(a) \alpha=\dfrac{25}{24}\\ \text{rev/s}^2=\dfrac{25\pi}{12}\\ \text{rad}\,\text{s}^{-2}\approx 6,544\\ \text{rad}\,\text{s}^{-2}
(b) t=\dfrac{24}{5}=4,8\\ \text{s}
(c) t=9,6\\ \text{s}
(d) \theta=48\\ \text{revoluções}çõ

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