1. Um disco, inicialmente girando a 120 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, é freado com uma aceleração angular constante de módulo 4,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}. (a) Quanto tempo o disco leva para parar? (b) Qual é o ângulo total descrito pelo disco durante esse tempo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • velocidade angular inicial: \omega_0 = 120\\ \mathrm{rad/s} (peguei do enunciado);
    • aceleração angular de frenagem, de módulo 4,0\\ \mathrm{rad/s^2}. Como é freagem, a aceleração angular tem sentido oposto à velocidade, portanto vou tomar \alpha = -4,0\\ \mathrm{rad/s^2}.
  • O enunciado pede:
    (a) o tempo que o disco leva para parar;
    (b) o ângulo total descrito pelo disco durante esse tempo.

Passo 2

Entender a equação básica de cinemática rotacional para tempo até parar.
  • A fórmula que relaciona velocidade angular final \omega, velocidade inicial \omega_0, aceleração angular \alpha e tempo t é
\omega = \omega_0 + \alpha t.
  • Aqui “parar” significa que a velocidade angular final é \omega=0. As variáveis:
    • \omega é a velocidade angular no instante final (em \mathrm{rad/s});
    • \omega_0 é a velocidade angular inicial (em \mathrm{rad/s});
    • \alpha é a aceleração angular (em \mathrm{rad/s^2});
    • t é o tempo (em \mathrm{s}).
  • Podemos isolar t na equação quando \omega=0, obtendo a expressão do tempo até parar:
t = \frac{-\omega_0}{\alpha}.

Passo 3

Calcular o tempo usando os números do enunciado, mostrando as contas passo a passo.
  • Substituindo \omega_0 = 120\\ \mathrm{rad/s} e \alpha = -4,0\\ \mathrm{rad/s^2} na fórmula:
t = \frac{-\omega_0}{\alpha} = \frac{-120}{-4,0}.
  • Os sinais negativos se cancelam. Agora a divisão:
\frac{120}{4,0} = 30.
  • Logo o tempo até parar é t = 30\\ \mathrm{s}.
(Dica prática para prova: sempre confira o sinal de \alpha. Se é FREAGEM, \alpha é negativo quando \omega_0 é positiva.)

Passo 4

Agora vamos calcular o ângulo total descrito durante a frenagem com uma fórmula de cinemática rotacional.
  • A fórmula que dá o deslocamento angular \theta em função de \omega_0, \alpha e t é
\theta = \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2.
  • Aqui \theta é o ângulo percorrido (em radianos), \omega_0 e \alpha como antes, e t o tempo que já calculamos.

Passo 5

Aplicar a fórmula do deslocamento angular com os valores numéricos, passo a passo.
  • Primeiro calcule \omega_0 t:
\omega_0 t = 120 \times 30 = 3600.
  • Em seguida calcule \tfrac{1}{2}\alpha t^2. Primeiro t^2 = 30^2 = 900. Então
\tfrac{1}{2}\alpha t^2 = \tfrac{1}{2}\times(-4,0)\times900 = -2 \times 900 = -1800.
  • Somando as duas parcelas:
\theta = 3600 + (-1800) = 1800.
  • Portanto o ângulo total descrito é \theta = 1800\\ \mathrm{rad}.

Passo 6

Verificação alternativa (útil na prova): usar a relação sem tempo.
  • Existe outra fórmula que relaciona \omega, \omega_0, \alpha e \theta:
\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta.
  • Para \omega=0 (parada) isso dá
0 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta \quad\Rightarrow\quad \theta = -\frac{\omega_0^2}{2\alpha}.
  • Substituindo \omega_0^2 = 120^2 = 14400 e \alpha = -4,0,
\theta = -\frac{14400}{2(-4,0)} = \frac{14400}{8} = 1800,
o que confirma o resultado \theta = 1800\\ \mathrm{rad}.

Passo 7

Interpretação final e curiosidade (ajuda a fixar na prova).
  • Resultado do tempo: 30\\ \mathrm{s} — ou seja, o disco demora meia hora? Não, calma: 30\\ \mathrm{s} é meio minuto, não meia hora. (Boa conferir unidades!)
  • Resultado do ângulo: 1800\\ \mathrm{rad}. Se quiser ter uma noção em voltas completas, uma volta é 2\pi\\ \mathrm{rad}, então o número de voltas é
\frac{1800}{2\pi}\approx 286,5\\ \text{voltas}.
  • Bom trabalho! Esses dois resultados são os que a questão pede. Lembre-se das duas fórmulas principais que usamos; são análogas às da cinemática retilínea e caem muito em prova.

Resposta

(a) t = 30\\ \mathrm{s}
(b) \theta = 1800\\ \mathrm{rad}

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