A velocidade de decréscimo de [A] numa reação foi medida como segue:
Tempo (/ \min) 0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0
([\mathrm{~A}], \mathrm{mol} \mathrm{L}^{-1}) 1,00 0,819 0,670 0,549 0,449 0,368
Calcule a velocidade média da reação -\Delta[\mathrm{A}] / \Delta \mathrm{t} entre:
0,0 e 100,0
Calcule a velocidade instantânea da reação -\Delta[\mathrm{A}] / \Delta \mathrm{t} a : a) 50,0 \mathrm{~min}
b) 0,0 \mathrm{~min}.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com concentrações de [A] em função do tempo (unidade do tempo: minutos). Os dados fornecidos (peguei-os do enunciado) são:
\begin{array}{c|cccccc} \text{Tempo (min)} & 0,0 & 20,0 & 40,0 & 60,0 & 80,0 & 100,0\\hline [A]\;(\mathrm{mol\,L^{-1}}) & 1,00 & 0,819 & 0,670 & 0,549 & 0,449 & 0,368 \end{array}
O que o exercício pede:
  • Calcular a velocidade média da reação entre t=0,0 e t=100,0, definida como -\Delta[A]/\Delta t.
  • Calcular a velocidade instantânea (aproximada pelos dados) em:
    a) t=50,0\\ \text{min};
    b) t=0,0\\ \text{min}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Velocidade média entre dois instantes t_1 e t_2 é a variação média de concentração por unidade de tempo, com o sinal ajustado para ser positivo quando [A] diminui:
\text{velocidade média} = -\frac{\Delta[A]}{\Delta t} = -\frac{[A](t_2)-[A](t_1)}{t_2-t_1}.é
Aqui [A](t_1) é a concentração no tempo t_1 e [A](t_2) a concentração no tempo t_2.
  • Velocidade instantânea é a derivada -\dfrac{d[A]}{dt}. Com dados discretos, aproximamos a derivada por diferenças finitas:
    • Para um ponto interno (não nas extremidades), a melhor aproximação costuma ser a diferença central:
    \left.\frac{d[A]}{dt}\right|_{t=t_0}\approx\frac{[A](t_0+\Delta t)-[A](t_0-\Delta t)}{2\Delta t}.Então a velocidade instantânea aproximada é - desse valor.
    • Para o início ( t=0) onde não temos valor anterior, usamos a diferença progressiva (forward difference):
    \left.\frac{d[A]}{dt}\right|_{t=0}\approx\frac{[A](t_1)-[A](0)}{t_1-0}com t_1 o primeiro ponto disponível (aqui 20{,}0\\ \text{min}).
  • Sempre lembrar as unidades: concentrações em \mathrm{mol\,L^{-1}} e tempo em \mathrm{min}, logo velocidades em \mathrm{mol\,L^{-1}\,min^{-1}}.

Passo 3

Cálculo da velocidade média entre t=0,0 e t=100,0.
Primeiro calcule \Delta[A]=[A](100{,}0)-[A](0{,}0):
\Delta[A]=0,368-1,00=-0,632\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
O intervalo de tempo é \Delta t=100{,}0-0{,}0=100{,}0\\ \mathrm{min}.
Aplicando a fórmula da velocidade média:
-\frac{\Delta[A]}{\Delta t}=-\frac{-0,632}{100{,}0}= \frac{0,632}{100{,}0}=0,00632\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,min^{-1}}.

Passo 4

Cálculo da velocidade instantânea em t=50{,}0\\ \text{min} usando diferença central.
Escolhemos os pontos t=40{,}0 e t=60{,}0 (são simétricos em torno de 50{,}0), logo 2\Delta t = 60{,}0-40{,}0 = 20{,}0\\ \mathrm{min} e \Delta t=10{,}0\\ \mathrm{min}. Porém a fórmula central que usamos aqui pode ser escrita diretamente com os dois pontos simétricos:
\left.\frac{d[A]}{dt}\right|_{50{,}0}\approx\frac{[A](60{,}0)-[A](40{,}0)}{60{,}0-40{,}0}.
Substituindo os valores (peguei-os da tabela):
\frac{[A](60{,}0)-[A](40{,}0)}{20{,}0}=\frac{0,549-0,670}{20{,}0}=\frac{-0,121}{20{,}0}=-0,00605\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,min^{-1}}.
A velocidade instantânea pedida é - desse valor:
-\left(\frac{d[A]}{dt}\right)_{50{,}0}\approx-(-0,00605)=0,00605\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,min^{-1}}.
Observação rápida (didática): a diferença central usa informações de ambos os lados do ponto e geralmente dá aproximação melhor que usar só um lado.

Passo 5

Cálculo da velocidade instantânea em t=0{,}0\\ \text{min} usando diferença progressiva (forward difference), pois não há ponto anterior.
Usamos t=0{,}0 e t=20{,}0:
\left.\frac{d[A]}{dt}\right|_{0{,}0}\approx\frac{[A](20{,}0)-[A](0{,}0)}{20{,}0-0{,}0}=\frac{0,819-1,00}{20{,}0}=\frac{-0,181}{20{,}0}=-0,00905\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,min^{-1}}.
Logo a velocidade instantânea pedida (com sinal ajustado) é
-\left(\frac{d[A]}{dt}\right)_{0{,}0}\approx-(-0,00905)=0,00905\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,min^{-1}}.

Passo 6

Interpretação curta (encorajamento): os resultados mostram que a taxa de consumo de [A] é maior no início ( t=0) e diminui ao longo do tempo (velocidade em 50{,}0 é menor que no início), o que faz sentido fisicamente em muitas reações onde a concentração inicial elevada acelera a velocidade. Você fez bem em pedir aproximações por diferenças finitas — é o método que se usa em prova quando só há dados discretos.

Resposta

0,00632\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,min^{-1}}
0,00605\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,min^{-1}}
0,00905\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,min^{-1}}

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