A velocidade de escape de um gás por um orifício depende da diferença de pressão
e da massa específica do gás. Determine a equação da velocidade.
Passo 1
O enunciado diz que a velocidade de escape de um gás por um orifício depende da diferença de pressão
e da massa específica do gás
. Ele já sugere a forma funcional
O que nos pedem: determinar a equação da velocidade, ou seja, encontrar o valor da constante
e escrever a expressão final para
.
Informações dadas:
— diferença de pressão entre o reservatório (lado interno) e o exterior (lado externo);\newline
— massa específica (densidade) do gás;\newline
— velocidade do jato de gás ao sair pelo orifício;\newline
a forma proposta .
a forma proposta
Passo 2
Escolha do método (explicação sucinta do porquê): uma forma direta e clássica de relacionar diferença de pressão e velocidade é usar a conservação de energia para fluidos (a equação de Bernoulli) entre o interior do reservatório e o ponto de saída. Essa escolha é natural porque pressão fornece energia por unidade de volume que pode ser convertida em energia cinética do fluido. Vou usar a versão simplificada de Bernoulli adequada para um jato saindo de um reservatório com baixa perda de carga.
Passo 3
Enunciando a equação de Bernoulli (numa forma útil para nosso caso). Para um escoamento estacionário, sem atrito e entre dois pontos na mesma linha de corrente, a equação de Bernoulli por unidade de volume pode ser escrita como
Explicando cada termo:
é a pressão estática (unidade: Pa);\newline
é a pressão dinâmica (energia cinética por unidade de volume);\newline
é a energia potencial gravitacional por unidade de volume (
é a aceleração da gravidade e
a altura).
Passo 4
Aplicando Bernoulli entre dois pontos: ponto 1 dentro do reservatório (próximo da superfície do fluido ou região grande onde a velocidade é pequena) e ponto 2 logo na saída do orifício, na mesma altura (ou assumimos diferença de altura desprezível). Escrevemos
pois
cancela se as alturas são iguais. Aqui
é a pressão no interior,
é a pressão exterior (normalmente atmosférica),
é a velocidade interior (muito pequena se o reservatório é grande) e
é a velocidade de saída que queremos.
Passo 5
Simplificações justificadas (passo a passo):
- Em reservatório grande, a velocidade interna
é muito pequena em comparação com a velocidade de saída, então aproximamos - Definimos a diferença de pressão
Substituindo em Bernoulli e usando
obtemos
Isolando
e usando
dá
Portanto
Passo 6
Identificação da constante
: comparando com a forma proposta
, vemos que
Ou seja, a equação final é
Passo 7
Interpretação física e unidades: a expressão diz que a velocidade aumenta com a raiz quadrada da diferença de pressão e diminui com a raiz quadrada da densidade. Verificação dimensional rápida:
tem unidade
, dividindo por
(unidade
) dá
; a raiz dá
, que é unidade de velocidade — ótimo.
Passo 8
Limitações e quando esta fórmula é válida (o que você precisa saber para a prova):
- Assumimos escoamento sem perda (sem atrito, sem contracção/viscosidade) — na prática há um coeficiente de descarga que reduz a velocidade real; a fórmula dá o valor ideal máximo.
- Assumimos variação de densidade desprezível (incompressível). Para gases isso é aceitável se a variação de pressão for pequena e a velocidade resultante for de baixa razão mach (tipicamente
). Se a diferença de pressão for grande, o escoamento é compressível e a conta exige a relação isentrópica (mais complicada) e pode ocorrer escoamento estrangulado (choked flow). - Assumimos que
é desprezível (reservatório muito maior que o orifício) e que não há diferença de altura relevante.
Passo 9
Exemplo numérico rápido para treinar a conta: suponha
e
. Então
Fazendo as contas no papel: multiplica
, divide por
obtém
e a raiz quadrada dá cerca de
.