A velocidade de escape de um gás por um orifício depende da diferença de pressão \Delta \mathrm{P} e da massa específica do gás. Determine a equação da velocidade.
v=k \sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}}

Passo 1

O enunciado diz que a velocidade de escape de um gás por um orifício depende da diferença de pressão \Delta p e da massa específica do gás \rho. Ele já sugere a forma funcional
v = k \sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}}.
O que nos pedem: determinar a equação da velocidade, ou seja, encontrar o valor da constante k e escrever a expressão final para v.
Informações dadas:
\Delta p — diferença de pressão entre o reservatório (lado interno) e o exterior (lado externo);\newline
\rho — massa específica (densidade) do gás;\newline
v — velocidade do jato de gás ao sair pelo orifício;\newline
a forma proposta v = k \sqrt{\dfrac{\Delta p}{\rho}}.

Passo 2

Escolha do método (explicação sucinta do porquê): uma forma direta e clássica de relacionar diferença de pressão e velocidade é usar a conservação de energia para fluidos (a equação de Bernoulli) entre o interior do reservatório e o ponto de saída. Essa escolha é natural porque pressão fornece energia por unidade de volume que pode ser convertida em energia cinética do fluido. Vou usar a versão simplificada de Bernoulli adequada para um jato saindo de um reservatório com baixa perda de carga.

Passo 3

Enunciando a equação de Bernoulli (numa forma útil para nosso caso). Para um escoamento estacionário, sem atrito e entre dois pontos na mesma linha de corrente, a equação de Bernoulli por unidade de volume pode ser escrita como
p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g h = \text{constante}.
Explicando cada termo:
p é a pressão estática (unidade: Pa);\newline
\tfrac{1}{2}\rho v^{2} é a pressão dinâmica (energia cinética por unidade de volume);\newline
\rho g h é a energia potencial gravitacional por unidade de volume ( g é a aceleração da gravidade e h a altura).

Passo 4

Aplicando Bernoulli entre dois pontos: ponto 1 dentro do reservatório (próximo da superfície do fluido ou região grande onde a velocidade é pequena) e ponto 2 logo na saída do orifício, na mesma altura (ou assumimos diferença de altura desprezível). Escrevemos
p_{1} + \tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2} = p_{2} + \tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2},
pois \rho g h cancela se as alturas são iguais. Aqui p_{1} é a pressão no interior, p_{2} é a pressão exterior (normalmente atmosférica), v_{1} é a velocidade interior (muito pequena se o reservatório é grande) e v_{2} é a velocidade de saída que queremos.

Passo 5

Simplificações justificadas (passo a passo):
  1. Em reservatório grande, a velocidade interna \;v_{1}\; é muito pequena em comparação com a velocidade de saída, então aproximamos \;v_{1}\approx 0\;.
  2. Definimos a diferença de pressão \;\Delta p = p_{1}-p_{2}\;.
Substituindo em Bernoulli e usando \;v_{1}\approx 0\; obtemos
p_{1} = p_{2} + \tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}.
Isolando v_{2} e usando \Delta p
\Delta p = \tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}\quad\Rightarrow\quad v_{2}^{2} = \frac{2\Delta p}{\rho}.
Portanto
v_{2} = \sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}.

Passo 6

Identificação da constante k: comparando com a forma proposta v = k \sqrt{\dfrac{\Delta p}{\rho}}, vemos que
k = \sqrt{2}.
Ou seja, a equação final é
v = \sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}.

Passo 7

Interpretação física e unidades: a expressão diz que a velocidade aumenta com a raiz quadrada da diferença de pressão e diminui com a raiz quadrada da densidade. Verificação dimensional rápida: \Delta p tem unidade \mathrm{Pa}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\mathrm{s}^{-2}, dividindo por \rho (unidade \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}) dá \mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-2}; a raiz dá \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}, que é unidade de velocidade — ótimo.

Passo 8

Limitações e quando esta fórmula é válida (o que você precisa saber para a prova):
  • Assumimos escoamento sem perda (sem atrito, sem contracção/viscosidade) — na prática há um coeficiente de descarga que reduz a velocidade real; a fórmula dá o valor ideal máximo.
  • Assumimos variação de densidade desprezível (incompressível). Para gases isso é aceitável se a variação de pressão for pequena e a velocidade resultante for de baixa razão mach (tipicamente M\lesssim 0{,}3). Se a diferença de pressão for grande, o escoamento é compressível e a conta exige a relação isentrópica (mais complicada) e pode ocorrer escoamento estrangulado (choked flow).
  • Assumimos que v_{1} é desprezível (reservatório muito maior que o orifício) e que não há diferença de altura relevante.

Passo 9

Exemplo numérico rápido para treinar a conta: suponha \Delta p = 1000\\ \mathrm{Pa} e \rho = 1{,}2\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}. Então
v = \sqrt{\frac{2\cdot 1000}{1{,}2}} = \sqrt{1666{,}6\overline{6}}\approx 40{,}8\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Fazendo as contas no papel: multiplica 2\cdot 1000=2000, divide por 1{,}2 obtém 1666{,}6\ldots e a raiz quadrada dá cerca de 40{,}8.

Resposta

v = \sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}

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