(M) Em uma variedade de espectrômetro de massa, partículas de carga q e massa m são inicialmente aceleradas por uma diferença de potencial V e depois entram em uma região de campo magnético uniforme de intensidade B e direção perpendicular à velocidade. Pela ação da força magnética, elas descrevem uma trajetória circular até atingir um anteparo, onde o raio R da trajetória é determinado.
(a) Determine a velocidade das partículas ao entrarem na região de campo magnético, supondo que elas partem do repouso.
(b) Determine a massa m de uma partícula em termos de B, V, R e q.
(c) Considere um feixe formado por uma mistura de íons { }^{12} C^{+}e { }^{14} C^{+}. Determine a razão entre os raios de suas trajetórias na região de campo magnético.

Passo 1

O enunciado dá uma montagem de espectrômetro de massa onde partículas de carga q e massa m são aceleradas por uma diferença de potencial V a partir do repouso e, depois, entram com velocidade perpendicular a um campo magnético uniforme de intensidade B. Em consequência da força magnética descrevem trajetória circular de raio R até atingir um anteparo.
Informações relevantes fornecidas:
  • diferença de potencial: V;
  • campo magnético uniforme: B, perpendicular à velocidade das partículas;
  • carga da partícula: q;
  • massa da partícula: m;
  • raio da trajetória circular no campo magnético: R.
    O que o enunciado pede:
    (a) a velocidade das partículas ao entrarem na região de campo magnético, supondo que partem do repouso;
    (b) a massa m de uma partícula em termos de B,V,R,q;
    (c) para um feixe misto de íons {}^{12}C^{+} e {}^{14}C^{+}, a razão entre os raios de suas trajetórias na região de campo magnético.

Passo 2

Entender a parte (a): conversão da energia elétrica fornecida pela diferença de potencial em energia cinética.
Conceito usado: quando uma partícula de carga q é acelerada por uma diferença de potencial elétrica V partindo do repouso, o trabalho da força elétrica fornece energia cinética igual a qV. Isso vem da conservação de energia elétrica → energia cinética: a energia potencial elétrica inicial é -qV (diferença de potencial), mas o importante é que o ganho de energia cinética tem magnitude qV. Matematicamente:
\text{energia cinética} = \tfrac{1}{2} m v^2 = qV.é
Aqui:
  • \tfrac{1}{2} m v^2 é a energia cinética final (com m a massa e v a velocidade);
  • qV é a energia fornecida pela aceleração (com q a carga e V a ddp).
    Isolando v desta equação:
\tfrac{1}{2} m v^2 = qV \quad\Rightarrow\quad v^2 = \frac{2qV}{m}.
Portanto a velocidade ao entrar no campo magnético (saindo do repouso) é
v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}.
Explicação do passo: cancele as operações por partes: multiplica-se ambos os lados por 2/m e aplica-se raiz quadrada; a raiz é positiva porque v é magnitude da velocidade.

Passo 3

Entender a relação entre força magnética e movimento circular (preparando para (b)).
Conceito usado: força magnética (força de Lorentz) para carga que se move com velocidade \vec{v} em campo magnético \vec{B} é \vec{F}_B = q\,\vec{v}\times\vec{B}. Se \vec{v} é perpendicular a \vec{B}, a magnitude da força é
F_B = qvB.
Essa força é sempre perpendicular à velocidade e, portanto, atua como força centrípeta quando a partícula descreve círculo. Para movimento circular de raio R, a força centrípeta necessária é
F_{\text{c}} = \frac{m v^2}{R}.
Igualando a força magnética à força centrípeta (pois a única força que curva a trajetória é a magnética):
qvB = \frac{m v^2}{R}.
Agora simplificamos essa expressão. Como v\neq 0, podemos dividir ambos os lados por v:
qB = \frac{m v}{R}.
Isolando v obtemos
v = \frac{q B R}{m}.
Observação: esta é uma expressão que relaciona v com m,q,B,R a partir da condição de movimento circular no campo magnético.

Passo 4

Determinar a massa m usando as duas relações obtidas: a da conservação de energia (Passo 2) e a da força centrípeta/magnética (Passo 3). Temos duas expressões para v:
v = \sqrt{\frac{2qV}{m}} \quad\text{(energia)}
e
v = \frac{q B R}{m} \quad\text{(força magnética)}.çé
Igualamos as duas expressões para v:
\frac{q B R}{m} = \sqrt{\frac{2qV}{m}}.
Para resolver, é mais simples elevar ambos os lados ao quadrado (evita raízes):
\left(\frac{q B R}{m}\right)^2 = \frac{2qV}{m}.
Desenvolvendo o quadrado no lado esquerdo:
\frac{q^2 B^2 R^2}{m^2} = \frac{2qV}{m}.
Multiplicamos ambos os lados por m^2 para eliminar denominadores:
q^2 B^2 R^2 = 2qV m.
Agora isolamos m. Primeiro podemos dividir ambos os lados por q (assumindo q\neq 0):
q B^2 R^2 = 2V m.
Finalmente:
m = \frac{q B^2 R^2}{2V}.
Este é o resultado pedido em (b). Observação sobre interpretação: muitas vezes é apresentada a forma para a razão massa/carga
\frac{m}{q}=\frac{B^2 R^2}{2V},
o que é útil para espectrômetros de massa porque mede m/q.

Passo 5

Resolver a parte (c): razão entre os raios para íons {}^{12}C^{+} e {}^{14}C^{+}.
Do resultado do Passo 4, podemos escrever a relação entre R e m (mantendo B,V,q fixos):
a partir de m = \dfrac{q B^2 R^2}{2V} isolamos R^2:
R^2 = \frac{2V}{B^2}\cdot\frac{m}{q}.
Portanto R é proporcional a \sqrt{m/q}:
R \propto \sqrt{\frac{m}{q}}.
No caso dos íons {}^{12}C^{+} e {}^{14}C^{+} ambos têm carga q=+e (uma unidade de carga elementar), logo q é igual para os dois. Assim a razão dos raios depende só das massas:
\frac{R_{12}}{R_{14}} = \sqrt{\frac{m_{12}}{m_{14}}}.
Aproximando as massas pelos números de massa (assumindo que a massa é proporcional ao número de nucleons, o que basta para a razão), temos m_{12}\propto 12 e m_{14}\propto 14. Então
\frac{R_{12}}{R_{14}} = \sqrt{\frac{12}{14}} = \sqrt{\frac{6}{7}}.
Podemos também dar um valor numérico aproximado:
\sqrt{\frac{6}{7}}\approx 0,9258.
Interpretação: o íon mais leve ( {}^{12}C^{+}) descreve uma curva de raio um pouco menor que o íon mais pesado ( {}^{14}C^{+})? Atenção: como R\propto\sqrt{m}, o íon mais leve tem raio menor; aqui R_{12}<R_{14} e a razão R_{12}/R_{14} é menor que 1.

Resposta

(a) v=\sqrt{\dfrac{2qV}{m}}
(b) m=\dfrac{qB^{2}R^{2}}{2V}
(c) \dfrac{R_{12}}{R_{14}}=\sqrt{\dfrac{12}{14}}=\sqrt{\dfrac{6}{7}}\approx 0,9258

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