(M) Em uma variedade de espectrômetro de massa, partículas de carga
e massa
são inicialmente aceleradas por uma diferença de potencial
e depois entram em uma região de campo magnético uniforme de intensidade
e direção perpendicular à velocidade. Pela ação da força magnética, elas descrevem uma trajetória circular até atingir um anteparo, onde o raio
da trajetória é determinado.
(a) Determine a velocidade das partículas ao entrarem na região de campo magnético, supondo que elas partem do repouso.
(b) Determine a massa
de uma partícula em termos de
e
.
(c) Considere um feixe formado por uma mistura de íons
e
. Determine a razão entre os raios de suas trajetórias na região de campo magnético.
(a) Determine a velocidade das partículas ao entrarem na região de campo magnético, supondo que elas partem do repouso.
(b) Determine a massa
(c) Considere um feixe formado por uma mistura de íons
Passo 1
O enunciado dá uma montagem de espectrômetro de massa onde partículas de carga
e massa
são aceleradas por uma diferença de potencial
a partir do repouso e, depois, entram com velocidade perpendicular a um campo magnético uniforme de intensidade
. Em consequência da força magnética descrevem trajetória circular de raio
até atingir um anteparo.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- diferença de potencial:
; - campo magnético uniforme:
, perpendicular à velocidade das partículas; - carga da partícula:
; - massa da partícula:
; - raio da trajetória circular no campo magnético:
.
O que o enunciado pede:
(a) a velocidade das partículas ao entrarem na região de campo magnético, supondo que partem do repouso;
(b) a massade uma partícula em termos de ;
(c) para um feixe misto de íonse , a razão entre os raios de suas trajetórias na região de campo magnético.
Passo 2
Entender a parte (a): conversão da energia elétrica fornecida pela diferença de potencial em energia cinética.
Conceito usado: quando uma partícula de carga é acelerada por uma diferença de potencial elétrica
partindo do repouso, o trabalho da força elétrica fornece energia cinética igual a
. Isso vem da conservação de energia elétrica → energia cinética: a energia potencial elétrica inicial é
(diferença de potencial), mas o importante é que o ganho de energia cinética tem magnitude
. Matematicamente:
Conceito usado: quando uma partícula de carga
Aqui:
-
é a energia cinética final (com a massa e a velocidade); -
é a energia fornecida pela aceleração (com a carga e a ddp).
Isolandodesta equação:
Portanto a velocidade ao entrar no campo magnético (saindo do repouso) é
Explicação do passo: cancele as operações por partes: multiplica-se ambos os lados por
e aplica-se raiz quadrada; a raiz é positiva porque
é magnitude da velocidade.
Passo 3
Entender a relação entre força magnética e movimento circular (preparando para (b)).
Conceito usado: força magnética (força de Lorentz) para carga que se move com velocidade em campo magnético
é
. Se
é perpendicular a
, a magnitude da força é
Conceito usado: força magnética (força de Lorentz) para carga que se move com velocidade
Essa força é sempre perpendicular à velocidade e, portanto, atua como força centrípeta quando a partícula descreve círculo. Para movimento circular de raio
, a força centrípeta necessária é
Igualando a força magnética à força centrípeta (pois a única força que curva a trajetória é a magnética):
Agora simplificamos essa expressão. Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Isolando
obtemos
Observação: esta é uma expressão que relaciona
com
a partir da condição de movimento circular no campo magnético.
Passo 4
Determinar a massa
usando as duas relações obtidas: a da conservação de energia (Passo 2) e a da força centrípeta/magnética (Passo 3). Temos duas expressões para
:
e
Igualamos as duas expressões para
:
Para resolver, é mais simples elevar ambos os lados ao quadrado (evita raízes):
Desenvolvendo o quadrado no lado esquerdo:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Agora isolamos
. Primeiro podemos dividir ambos os lados por
(assumindo
):
Finalmente:
Este é o resultado pedido em (b). Observação sobre interpretação: muitas vezes é apresentada a forma para a razão massa/carga
o que é útil para espectrômetros de massa porque mede
.
Passo 5
Resolver a parte (c): razão entre os raios para íons
e
.
Do resultado do Passo 4, podemos escrever a relação entre e
(mantendo
fixos):
a partir de isolamos
:
Do resultado do Passo 4, podemos escrever a relação entre
a partir de
Portanto
é proporcional a
:
No caso dos íons
e
ambos têm carga
(uma unidade de carga elementar), logo
é igual para os dois. Assim a razão dos raios depende só das massas:
Aproximando as massas pelos números de massa (assumindo que a massa é proporcional ao número de nucleons, o que basta para a razão), temos
e
. Então
Podemos também dar um valor numérico aproximado:
Interpretação: o íon mais leve (
) descreve uma curva de raio um pouco menor que o íon mais pesado (
)? Atenção: como
, o íon mais leve tem raio menor; aqui
e a razão
é menor que 1.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)