2^{\underline{a}} Questão

(i) A diferença de potencial elétrico entre a terra e uma nuvem de tempestade é 1,2 \times 10^{9} \mathrm{~V}. Qual é o módulo da variação da energia potencial elétrica de um elétron que se desloca da nuvem para a terra? Expresse a resposta em elétrons-volts.
(ii) Duas placas paralelas condutoras, de grande extensão, estão separadas por uma distância de 12 cm e possuem densidades superficiais de cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas faces internas. Uma força eletrostática de 3,9 \times 10^{-15} \mathrm{~N} age sobre um elétron colocado na região entre as duas placas. (a) Determine o campo elétrico na posição do elétron. (b) Determine a diferença de potencial entre as placas.

Passo 1

Pergunta (i): Qual é o módulo da variação da energia potencial elétrica de um elétron que se desloca da nuvem para a terra, dado que a diferença de potencial entre terra e nuvem é \,1,2\times10^{9}\,\mathrm{V}?\n
Dados relevantes para (i):
\Delta V = 1,2\times10^{9}\,\mathrm{V}.
Pergunta (ii): Duas placas paralelas separadas por 12\\ \mathrm{cm} com cargas de sinais opostos exercem sobre um elétron uma força eletrostática de 3,9\times10^{-15}\,\mathrm{N}. (a) Determinar o campo elétrico na posição do elétron. (b) Determinar a diferença de potencial entre as placas.\n
Dados relevantes para (ii):
d = 12\\ \mathrm{cm} = 0{,}12\\ \mathrm{m},
F = 3{,}9\times10^{-15}\\ \mathrm{N}.
Constante útil (carga do elétron, valor absoluto):
e = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.

Passo 2

Entendendo o que é energia potencial elétrica e o que é o elétron-volt (aula rápida e necessária para (i)).\n
Definição: a variação da energia potencial elétrica quando uma carga q se desloca através de uma diferença de potencial \Delta V é dada por
\Delta U = q\,\Delta V.
Aqui \Delta U é a variação da energia potencial em joules, q é a carga em coulombs e \Delta V é a diferença de potencial em volts.\n
Definição prática: 1\\ \mathrm{eV} (um elétron-volt) é a energia que uma carga elementar e ganha ao atravessar 1\\ \mathrm{V}. Em fórmula,
1\\ \mathrm{eV} = e\cdot1\\ \mathrm{V} = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Isso significa que, para uma única carga elementar, a energia (em eV) que ela ganha ao atravessar \Delta V volts é numericamente igual a \Delta V (em volts). Exemplo simples: se uma carga elementar atravessa 5\\ \mathrm{V}, ela muda sua energia em 5\\ \mathrm{eV}.

Passo 3

Resolvendo (i) passo a passo usando as fórmulas explicadas.\n
Usamos \Delta U = q\,\Delta V. Para um elétron, q = -e, mas o enunciado pede o módulo da variação, então tomamos |\Delta U| = |q|\,|\Delta V| = e\,|\Delta V|.\n
Calculemos primeiro em joules (apenas para ver) e depois convertemos para elétron-volts:
|\Delta U| = e\cdot\Delta V = \left(1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}\right)\left(1{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{V}\right).
Multiplicando:
|\Delta U| = 1{,}602\times1{,}2\times10^{-19+9}\\ \mathrm{J} = 1{,}9224\times10^{-10}\\ \mathrm{J}.
Agora convertemos para elétron-volts dividindo por 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV} (ou usando a observação prática que para uma carga elementar a energia em eV é numericamente igual à diferença de potencial em V):
|\Delta U| = \frac{1{,}9224\times10^{-10}\\ \mathrm{J}}{1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} = 1{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{eV}.
Conclusão: o módulo da variação da energia potencial do elétron é \,1{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Preparação para (ii-a): relação força-campo (aula rápida necessária).\n
Força elétrica sobre uma carga q num campo elétrico \vec{E} é dada por
\vec{F} = q\,\vec{E}.
Tomando magnitudes (quando queremos apenas valores algébricos),
F = |q|\,E \quad\Rightarrow\quad E = \frac{F}{|q|}.
Aqui F é a magnitude da força em newtons, q a carga em coulombs e E o módulo do campo em newtons por coulomb ( \mathrm{N/C}), que é equivalente a volts por metro ( \mathrm{V/m}).\n
No nosso caso, o elétron tem carga |q|=e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e a força dada é F=3{,}9\times10^{-15}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Cálculo de (ii-a) aplicando a fórmula.\n
E = \frac{F}{e} = \frac{3{,}9\times10^{-15}\\ \mathrm{N}}{1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}}.
Faço a divisão:
E = \frac{3{,}9}{1{,}602}\times10^{-15-(-19)}\\ \mathrm{N/C} = 2{,}433\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando para três algarismos significativos:
E \approx 2{,}43\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
Observação física rápida: como o elétron tem carga negativa, a força sobre ele aponta em sentido oposto ao vetor campo elétrico. Mas o enunciado pediu o valor do campo; aqui fornecemos seu módulo.

Passo 6

Preparação para (ii-b): relação campo-diferença de potencial (aula rápida necessária).\n
Em um campo elétrico uniforme (caso entre placas paralelas grandes), a diferença de potencial entre duas superfícies separadas por uma distância d na direção do campo é
\Delta V = E\,d,
onde \Delta V é o módulo da diferença de potencial (em volts), E o módulo do campo (em \mathrm{V/m} ou \mathrm{N/C}) e d a distância (em metros). Essa é uma versão do trabalho por unidade de carga ao atravessar o campo uniforme.

Passo 7

Cálculo de (ii-b) aplicando \Delta V = E d.\n
Usamos E = 2{,}433\times10^{4}\\ \mathrm{N/C} (do passo anterior) e d = 0{,}12\\ \mathrm{m}:
\Delta V = E\,d = \left(2{,}433\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}\right)\left(0{,}12\\ \mathrm{m}\right).
Multiplicando:
\Delta V = 2{,}9196\times10^{3}\\ \mathrm{V}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\Delta V \approx 2{,}92\times10^{3}\\ \mathrm{V}.
Interpretação: a diferença de potencial entre as placas é cerca de 2{,}92\\ \mathrm{kV}. Isso faz sentido fisicamente: um campo de aproximadamente 2,4\times10^{4}\\ \mathrm{V/m} ao longo de 0{,}12\\ \mathrm{m} produz cerca de 2,9\times10^{3}\\ \mathrm{V}.

Resposta

(i) 1{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{eV}\n
(ii-a) E \approx 2{,}43\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}\n
(ii-b) \Delta V \approx 2{,}92\times10^{3}\\ \mathrm{V}

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