A velocidade de um fluido bidimensional é dada por \vec{V}=\vec{V}(x, y)=u(x, y) \hat{\imath}-v(x, y) \hat{\jmath}. Supondo que o fluido seja incompressível (ou seja, \nabla \cdot \vec{V}=0 ) e irrotacional, prove que valem as condições de Cauchy-Riemann
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do fluido bidimensional
\vec{V}(x,y)=u(x,y)\,\hat{\imath}-v(x,y)\,\hat{\jmath},
e impõe duas condições físicas:
  • o fluido é incompressível, isto é \nabla\cdot\vec{V}=0;
  • o fluido é irrotacional, isto é \nabla\times\vec{V}=0 (no sentido que a vorticidade é nula).
O que se pede provar são as relações de Cauchy–Riemann
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.

Passo 2

Vou explicar primeiro o operador divergente em duas dimensões e aplicá‑lo ao campo dado.
Definição (divergente): para um campo vetorial em duas dimensões \vec{W}=(W_x,W_y),
\nabla\cdot\vec{W}=\frac{\partial W_x}{\partial x}+\frac{\partial W_y}{\partial y}.
No nosso caso W_x= u e W_y=-v. Aplicando a definição:
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial (-v)}{\partial y} =\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}.
A condição de incompressibilidade diz que \nabla\cdot\vec{V}=0. Portanto
\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Isolando, obtemos a primeira igualdade desejada:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}.
Observação rápida de intuição: divergente nulo significa que, localmente, não há “fonte” nem “sumidouro” de fluido — a área é preservada infinitesimalmente — e isso já impõe uma relação entre as variações de u e v.

Passo 3

Agora defino o rotor (curl) apropriado para um campo 2D e uso a condição irrotacional.
Definição (componente z do rotor): para um campo \vec{W}=(W_x,W_y) em duas dimensões, a componente perpendicular (z) do rotor é
(\nabla\times\vec{W})_z=\frac{\partial W_y}{\partial x}-\frac{\partial W_x}{\partial y}.
No nosso caso W_x=u, W_y=-v. Assim
(\nabla\times\vec{V})_z=\frac{\partial (-v)}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
A condição irrotacional pede que \nabla\times\vec{V}=0, logo
-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0.
Multiplicando por -1 e rearranjando, obtemos a segunda igualdade:
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
Uma pequena nota sobre sinais: o sinal negativo em W_y=-v aparece já no enunciado; ao calcular o rotor isso produz o sinal que leva exatamente à equação com sinal negativo entre as derivadas cruzadas.

Passo 4

Juntando os resultados dos passos anteriores, temos exatamente as condições de Cauchy–Riemann pedidas:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.

Passo 5

Comentário didático curto para a prova (tipo dica): ao ver um campo bidimensional e as hipóteses “incompressível” e “irrotacional”, o procedimento padrão é escrever explicitamente \nabla\cdot\vec V e (\nabla\times\vec V)_z em termos das componentes e igualar a zero; isso normalmente produz duas equações simples nas derivadas parciais que, quase sempre, são as equações de Cauchy–Riemann quando a notação do campo for semelhante à dada aqui. lembrar de checar sinais (como o -v na componente y) evita erros bobos.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}

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