A velocidade de um fluido bidimensional é dada por
. Supondo que o fluido seja incompressível (ou seja,
) e irrotacional, prove que valem as condições de Cauchy-Riemann
Passo 1
O enunciado dá a velocidade do fluido bidimensional
e impõe duas condições físicas:
- o fluido é incompressível, isto é
; - o fluido é irrotacional, isto é
(no sentido que a vorticidade é nula).
O que se pede provar são as relações de Cauchy–Riemann
Passo 2
Vou explicar primeiro o operador divergente em duas dimensões e aplicá‑lo ao campo dado.
Definição (divergente): para um campo vetorial em duas dimensões
,
No nosso caso
e
. Aplicando a definição:
A condição de incompressibilidade diz que
. Portanto
Isolando, obtemos a primeira igualdade desejada:
Observação rápida de intuição: divergente nulo significa que, localmente, não há “fonte” nem “sumidouro” de fluido — a área é preservada infinitesimalmente — e isso já impõe uma relação entre as variações de
e
.
Passo 3
Agora defino o rotor (curl) apropriado para um campo 2D e uso a condição irrotacional.
Definição (componente
do rotor): para um campo
em duas dimensões, a componente perpendicular (z) do rotor é
No nosso caso
,
. Assim
A condição irrotacional pede que
, logo
Multiplicando por
e rearranjando, obtemos a segunda igualdade:
Uma pequena nota sobre sinais: o sinal negativo em
aparece já no enunciado; ao calcular o rotor isso produz o sinal que leva exatamente à equação com sinal negativo entre as derivadas cruzadas.
Passo 4
Juntando os resultados dos passos anteriores, temos exatamente as condições de Cauchy–Riemann pedidas:
Passo 5
Comentário didático curto para a prova (tipo dica): ao ver um campo bidimensional e as hipóteses “incompressível” e “irrotacional”, o procedimento padrão é escrever explicitamente
e
em termos das componentes e igualar a zero; isso normalmente produz duas equações simples nas derivadas parciais que, quase sempre, são as equações de Cauchy–Riemann quando a notação do campo for semelhante à dada aqui. lembrar de checar sinais (como o
na componente
) evita erros bobos.