Calcule nabla \cdot \vec{u} e nabla \times \vec{u} para os seguintes campos vetoriais:
\vec{u}(x, y, z)=\left(z-3 y^{2}\right) \hat{\imath}+(3 x-z) \hat{\jmath}+(y-2 x) \hat{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{u}(x,y,z)=\bigl(z-3y^{2}\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(3x-z\bigr)\,\hat{\jmath}+\bigl(y-2x\bigr)\,\hat{k}.
O que nos pedem:
  • Calcular \nabla\cdot\vec{u} (divergência de \vec{u}).
  • Calcular \nabla\times\vec{u} (rotacional / curl de \vec{u}).
Informações relevantes que temos (extraindo do enunciado):
  • Componente x de \vec{u}: u_x(x,y,z)=z-3y^{2}.
  • Componente y de \vec{u}: u_y(x,y,z)=3x-z.
  • Componente z de \vec{u}: u_z(x,y,z)=y-2x.

Passo 2

Definição e ideia para a divergência.
  • A divergência de um campo vetorial \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas coordenadas:
\nabla\cdot\vec{u}=\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}.
Explicando: \frac{\partial u_x}{\partial x} significa “derivar a componente x mantendo y,z constantes”, e análogamente para as outras.
Agora calculamos cada termo usando as componentes listadas no Passo 1.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais para a divergência.
  • Calcular \dfrac{\partial u_x}{\partial x} com u_x=z-3y^{2}. Ao derivar em relação a x, z e y são tratados como constantes. Logo
\frac{\partial u_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z-3y^{2}\bigr)=0.
  • Calcular \dfrac{\partial u_y}{\partial y} com u_y=3x-z. Ao derivar em relação a y, x e z são constantes. Logo
\frac{\partial u_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x-z\bigr)=0.
  • Calcular \dfrac{\partial u_z}{\partial z} com u_z=y-2x. Ao derivar em relação a z, x e y são constantes. Logo
\frac{\partial u_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y-2x\bigr)=0.

Passo 4

Somando os termos para obter a divergência.
Usando a fórmula,
\nabla\cdot\vec{u}=0+0+0=0.
Comentário didático rápido: a divergência nula significa, intuitivamente, que não há “fontes nem sumidouros locais” do campo — o fluxo que entra em um volume pequeno tende a igualar o fluxo que sai.

Passo 5

Definição e ideia para o rotacional (curl).
  • O rotacional de \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) é o vetor
\nabla\times\vec{u}=\begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\\ u_x & u_y & u_z \end{vmatrix},
ou, componente a componente,
\begin{aligned} (\nabla\times\vec{u})_x&=\frac{\partial u_z}{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial z},\\\ (\nabla\times\vec{u})_y&=\frac{\partial u_x}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial x},\\\ (\nabla\times\vec{u})_z&=\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}. \end{aligned}
Explicando: cada componente do rotacional combina derivadas cruzadas das componentes do campo, medindo a tendência de rotação local.

Passo 6

Cálculo das derivadas necessárias para o rotacional.
Usaremos as mesmas componentes:
\;u_x=z-3y^{2},\;u_y=3x-z,\;u_z=y-2x.
  • Para (\nabla\times\vec{u})_x:
\frac{\partial u_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y-2x)=1, \qquad \frac{\partial u_y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(3x-z)=-1,
portanto
(\nabla\times\vec{u})_x=1-(-1)=2.
  • Para (\nabla\times\vec{u})_y:
\frac{\partial u_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(z-3y^{2})=1, \qquad \frac{\partial u_z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y-2x)=-2,
portanto
(\nabla\times\vec{u})_y=1-(-2)=3.
  • Para (\nabla\times\vec{u})_z:
\frac{\partial u_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x-z)=3, \qquad \frac{\partial u_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(z-3y^{2})=-6y,
portanto
(\nabla\times\vec{u})_z=3-(-6y)=3+6y.

Passo 7

Verificação rápida (identidade útil).
É sempre bom checar a identidade \nabla\cdot(\nabla\times\vec{u})=0. Calculando a divergência do rotacional encontrado:
\frac{\partial}{\partial x}(2)+\frac{\partial}{\partial y}(3)+\frac{\partial}{\partial z}(3+6y)=0+0+0=0,
logo a identidade é satisfeita — bom sinal de que os cálculos estão consistentes.

Resposta

\nabla\cdot\vec{u}=0
\nabla\times\vec{u}=2\,\hat{\imath}+3\,\hat{\jmath}+\bigl(3+6y\bigr)\,\hat{k}

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