Calcule
e
para os seguintes campos vetoriais:
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
O que nos pedem:
- Calcular
(divergência de ). - Calcular
(rotacional / curl de ).
Informações relevantes que temos (extraindo do enunciado):
- Componente
de : . - Componente
de : . - Componente
de : .
Passo 2
Definição e ideia para a divergência.
- A divergência de um campo vetorial
é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas coordenadas:
Explicando:
significa “derivar a componente
mantendo
constantes”, e análogamente para as outras.
Agora calculamos cada termo usando as componentes listadas no Passo 1.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais para a divergência.
- Calcular
com . Ao derivar em relação a , e são tratados como constantes. Logo
- Calcular
com . Ao derivar em relação a , e são constantes. Logo
- Calcular
com . Ao derivar em relação a , e são constantes. Logo
Passo 4
Somando os termos para obter a divergência.
Usando a fórmula,
Comentário didático rápido: a divergência nula significa, intuitivamente, que não há “fontes nem sumidouros locais” do campo — o fluxo que entra em um volume pequeno tende a igualar o fluxo que sai.
Passo 5
Definição e ideia para o rotacional (curl).
- O rotacional de
é o vetor
ou, componente a componente,
Explicando: cada componente do rotacional combina derivadas cruzadas das componentes do campo, medindo a tendência de rotação local.
Passo 6
Cálculo das derivadas necessárias para o rotacional.
Usaremos as mesmas componentes:
- Para
:
portanto
- Para
:
portanto
- Para
:
portanto
Passo 7
Verificação rápida (identidade útil).
É sempre bom checar a identidade
. Calculando a divergência do rotacional encontrado:
logo a identidade é satisfeita — bom sinal de que os cálculos estão consistentes.