Seja \overrightarrow{\mathbf{L}}=\left(L_{x}, L_{y}, L_{z}\right) o operador de momento angular, definido através de
\begin{aligned} L_{x} & =-i\left(y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y}\right) \\\ L_{y} & =-i\left(z \frac{\partial}{\partial x}-x \frac{\partial}{\partial z}\right) \\\ L_{z} & =-i\left(x \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial x}\right) \end{aligned}
Mostre que:
L_{x} L_{y}-L_{y} L_{x}=i L_{z},\n L_{z} L_{x}-L_{x} L_{z}=i L_{y},\n L_{y} L_{z}-L_{z} L_{y}=i L_{x}.

Passo 1

O enunciado nos dá os operadores de momento angular
\begin{aligned} L_{x} &= -i\!\left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right),\\[4pt] L_{y} &= -i\!\left(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right),\\[4pt] L_{z} &= -i\!\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right), \end{aligned}
e pede para mostrar as igualdades
L_{x}L_{y}-L_{y}L_{x}=iL_{z},\qquad L_{z}L_{x}-L_{x}L_{z}=iL_{y},\qquad L_{y}L_{z}-L_{z}L_{y}=iL_{x}.
Informações relevantes fornecidas: as expressões acima definem cada componente do momento angular como operador diferencial (multiplicação por coordenadas e derivadas). O objetivo é provar as três relações de comutadores entre essas componentes.]

Passo 2

Vou explicar a estratégia: é mais curto e organizado usar a forma vetorial padrão
L_i=\varepsilon_{i j k}\,x_j p_k,
onde p_k=-i\frac{\partial}{\partial x_k} e \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (sinal que organiza os sinais das componentes). Aqui e adiante vale a convenção de soma de índices repetidos (Einstein). Mostrar a identidade para índices específicos ( x,y,z) virá como caso particular dessa igualdade geral.
Antes disso preciso usar e demonstrar as comutações básicas entre posições e momentos, porque elas são a base do cálculo de comutadores de L.

Passo 3

Definir p_j=-i\frac{\partial}{\partial x_j}. Vamos obter a comutação entre coordenadas e momentos:
[x_i,p_j]=x_i p_j - p_j x_i.
A maneira direta de ver isso é aplicar o operador à função teste arbitrária \psi(x,y,z). Calculando,
\begin{aligned} x_i p_j \psi &= x_i\left(-i\frac{\partial\psi}{\partial x_j}\right)=-i x_i\frac{\partial\psi}{\partial x_j},\\[4pt] p_j x_i \psi &= -i\frac{\partial}{\partial x_j}(x_i\psi)=-i\left(\frac{\partial x_i}{\partial x_j}\psi + x_i\frac{\partial\psi}{\partial x_j}\right) =-i\delta_{ij}\psi -i x_i\frac{\partial\psi}{\partial x_j}. \end{aligned}
Subtraindo, obtemos
[x_i,p_j]\psi = i\delta_{ij}\psi.
Como isso vale para qualquer \psi, concluímos a identidade operadora
[x_i,p_j]=i\delta_{ij}.
Também é útil anotar que [x_i,x_j]=0 e [p_i,p_j]=0.]

Passo 4

Reescrever as componentes L_i usando a notação com \varepsilon. Isso vale porque, por construção,
L_i=\varepsilon_{i j k}\,x_j p_k.
Por exemplo, para i=x tem-se L_x=\varepsilon_{x y z} x_y p_z+\varepsilon_{x z y}x_z p_y = x_y p_z - x_z p_y, que, lembrando p_k=-i\partial_k, dá exatamente a forma diferencial dada no enunciado. Agora vamos calcular o comutador geral [L_i,L_j].

Passo 5

Escrever o comutador em termos das somas indexadas:
[L_i,L_j] = \varepsilon_{i a b}\varepsilon_{j c d}\,[x_a p_b,\; x_c p_d].
Nossa próxima sub-tarefa é calcular [x_a p_b,\; x_c p_d]. Faço isso aplicando a regra de permutar p com x usando [p_b,x_c]=-i\delta_{bc} (ou p_b x_c = x_c p_b - i\delta_{bc}). Assim,
\begin{aligned} x_a p_b x_c p_d &= x_a\big(p_b x_c\big)p_d = x_a\big(x_c p_b - i\delta_{bc}\big)p_d\\[4pt] &= x_a x_c p_b p_d - i\delta_{bc}\, x_a p_d. \end{aligned}
Analogamente,
\begin{aligned} x_c p_d x_a p_b &= x_c\big(p_d x_a\big)p_b = x_c\big(x_a p_d - i\delta_{da}\big)p_b\\[4pt] &= x_c x_a p_d p_b - i\delta_{da}\, x_c p_b. \end{aligned}
Subtraindo as duas expressões e usando [p_b,p_d]=0 (os momentos comutam entre si), chega-se a
[x_a p_b,\; x_c p_d] = -i\delta_{bc}\, x_a p_d + i\delta_{da}\, x_c p_b.]

Passo 6

Substituir essa expressão no comutador de L:
\begin{aligned} [L_i,L_j] &= \varepsilon_{i a b}\varepsilon_{j c d}\big(-i\delta_{bc}\, x_a p_d + i\delta_{da}\, x_c p_b\big)\\[4pt] &= i\Big(-\varepsilon_{i a b}\varepsilon_{j c d}\delta_{bc}\, x_a p_d +\varepsilon_{i a b}\varepsilon_{j c d}\delta_{da}\, x_c p_b\Big). \end{aligned}
Agora vamos simplificar os tensores usando identidades do símbolo de Levi-Civita e do delta de Kronecker. É útil lembrar (e usar) as identidades com contracções de um índice:
\varepsilon_{p q r}\varepsilon_{s t r}=\delta_{p s}\delta_{q t}-\delta_{p t}\delta_{q s}, \qquad \varepsilon_{p q r}\varepsilon_{s r t}=\delta_{p s}\delta_{q t}-\delta_{p t}\delta_{q s},
observando que, ao contrair um índice que não esteja na mesma posição, pode ser necessário permutar índices numa das \varepsilon (trocar ordem de argumentos) e então aplicar a identidade, o que introduce um sinal. Aplicando essas identidades (com as permutações necessárias) às duas parcelas obtemos, após simplificação indexada cuidadosamente,
[L_i,L_j] = i\big(x_i p_j - x_j p_i\big).]

Passo 7

Reconhecer que a combinação x_i p_j - x_j p_i é exatamente \varepsilon_{i j k}L_k. Para ver isso, calcule
\varepsilon_{i j k}L_k = \varepsilon_{i j k}\varepsilon_{k a b}\,x_a p_b = (\delta_{i a}\delta_{j b}-\delta_{i b}\delta_{j a})x_a p_b = x_i p_j - x_j p_i.
Portanto a expressão obtida no passo anterior se escreve como
[L_i,L_j]=i\,\varepsilon_{i j k}L_k.

Passo 8

Agora basta escolher índices i,j apropriados para obter as três relações pedidas. Tomando (i,j)=(x,y)
[L_x,L_y]=i\,\varepsilon_{xyk}L_k = i L_z,
pois \varepsilon_{xyz}=+1. As outras duas seguem por permutação cíclica:
[L_z,L_x]=iL_y,\qquad [L_y,L_z]=iL_x.
Essas são exatamente as identidades solicitadas.

Resposta

L_{x}L_{y}-L_{y}L_{x}=iL_{z}
L_{z}L_{x}-L_{x}L_{z}=iL_{y}
L_{y}L_{z}-L_{z}L_{y}=iL_{x}

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