Seja
o operador de momento angular, definido através de
Mostre que:
,\n
,\n
.
Passo 1
O enunciado nos dá os operadores de momento angular
e pede para mostrar as igualdades
Informações relevantes fornecidas: as expressões acima definem cada componente do momento angular como operador diferencial (multiplicação por coordenadas e derivadas). O objetivo é provar as três relações de comutadores entre essas componentes.]
Passo 2
Vou explicar a estratégia: é mais curto e organizado usar a forma vetorial padrão
onde
e
é o símbolo de Levi-Civita (sinal que organiza os sinais das componentes). Aqui e adiante vale a convenção de soma de índices repetidos (Einstein). Mostrar a identidade para índices específicos (
) virá como caso particular dessa igualdade geral.
Antes disso preciso usar e demonstrar as comutações básicas entre posições e momentos, porque elas são a base do cálculo de comutadores de .
Antes disso preciso usar e demonstrar as comutações básicas entre posições e momentos, porque elas são a base do cálculo de comutadores de
Passo 3
Definir
. Vamos obter a comutação entre coordenadas e momentos:
A maneira direta de ver isso é aplicar o operador à função teste arbitrária
. Calculando,
Subtraindo, obtemos
Como isso vale para qualquer
, concluímos a identidade operadora
Também é útil anotar que
e
.]
Passo 4
Reescrever as componentes
usando a notação com
. Isso vale porque, por construção,
Por exemplo, para
tem-se
, que, lembrando
, dá exatamente a forma diferencial dada no enunciado. Agora vamos calcular o comutador geral
.
Passo 5
Escrever o comutador em termos das somas indexadas:
Nossa próxima sub-tarefa é calcular
. Faço isso aplicando a regra de permutar
com
usando
(ou
). Assim,
Analogamente,
Subtraindo as duas expressões e usando
(os momentos comutam entre si), chega-se a
Passo 6
Substituir essa expressão no comutador de
:
Agora vamos simplificar os tensores usando identidades do símbolo de Levi-Civita e do delta de Kronecker. É útil lembrar (e usar) as identidades com contracções de um índice:
observando que, ao contrair um índice que não esteja na mesma posição, pode ser necessário permutar índices numa das
(trocar ordem de argumentos) e então aplicar a identidade, o que introduce um sinal. Aplicando essas identidades (com as permutações necessárias) às duas parcelas obtemos, após simplificação indexada cuidadosamente,
Passo 7
Reconhecer que a combinação
é exatamente
. Para ver isso, calcule
Portanto a expressão obtida no passo anterior se escreve como
Passo 8
Agora basta escolher índices
apropriados para obter as três relações pedidas. Tomando
dá
pois
. As outras duas seguem por permutação cíclica:
Essas são exatamente as identidades solicitadas.