A velocidade de um fluido em um tubo em um escoamento turbulento é expressa pela seguinte equação:
u=k\left(\frac{\tau}{\rho}\right)^{0,5}
Em que: \tau é a tensão cisalhante na parede do tubo \mathrm{em} \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}; \rho é a densidade do fluido \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}; u é a velocidade \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} e k é um coeficiente. Modifique a equação para que a tensão cisalhante seja dada em \mathrm{lb}_{\mathrm{f}} / \mathrm{ft}^{2}, a densidade do fluido em \mathrm{lb}_{\mathrm{m}} / \mathrm{ft}^{3} e a velocidade em \mathrm{ft} / \mathrm{s}. \mathrm{u}=5,67 \mathrm{k}(\tau / \rho)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado nos dá a lei empírica
u = k\Bigl(\frac{\tau}{\rho}\Bigr)^{0,5}
em que \tau está em \mathrm{N}/\mathrm{m}^2, \rho em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 e u em \mathrm{m}/\mathrm{s}. Precisamos reescrevê-la para que \tau fique em \mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^2, \rho em \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3 e u em \mathrm{ft}/\mathrm{s}.

Passo 2

Vamos expressar as grandezas originais em função das novas unidades:
1 ft =0,3048 m
1 lbf =4,448 N
1 lbm =0,4536 kg
1 f t^{3} = (0,3048 m) ^{3}=0,0283168 m^{3}

Passo 3

Converter a tensão cisalhante \tau:
se \tau' é em \mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^2, então
\tau = \tau'\times\frac{4{,}448\;\mathrm{N}}{1\;\mathrm{lbf}}\times\frac{1}{0{,}092903\;\mathrm{m}^2/\mathrm{ft}^2} =\tau'\times4{,}448/0{,}092903
Portanto
\tau = \tau'\times 47{,}8803\quad\bigl[\mathrm{N}/\mathrm{m}^2\bigr].

Passo 4

Converter a densidade \rho:
se \rho' é em \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3, então
\rho = \rho'\times\frac{0{,}4536\;\mathrm{kg}}{1\;\mathrm{lbm}}\times\frac{1}{0{,}0283168\;\mathrm{m}^3/\mathrm{ft}^3} =\rho'\times0{,}4536/0{,}0283168
ou seja
\rho = \rho'\times16{,}0185\quad\bigl[\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\bigr].

Passo 5

Substituindo essas conversões em \tau/\rho:
\frac{\tau}{\rho} =\frac{\tau'\times47{,}8803}{\rho'\times16{,}0185} =\frac{\tau'}{\rho'}\times\frac{47{,}8803}{16{,}0185} \approx\frac{\tau'}{\rho'}\times2{,}9892
e daí
\Bigl(\frac{\tau}{\rho}\Bigr)^{0,5} =\Bigl(\frac{\tau'}{\rho'}\Bigr)^{0,5}\times\sqrt{2{,}9892} \approx\Bigl(\frac{\tau'}{\rho'}\Bigr)^{0,5}\times1{,}7288.

Passo 6

A equação original dá u em \mathrm{m}/\mathrm{s}. Para obter u' em \mathrm{ft}/\mathrm{s}, multiplicamos por 1/0{,}3048:
u'=\frac{u}{0{,}3048} =\frac{k}{0{,}3048}\;1{,}7288\;\Bigl(\frac{\tau'}{\rho'}\Bigr)^{0,5} \approx5{,}67\,k\;\Bigl(\frac{\tau'}{\rho'}\Bigr)^{0,5}.

Resposta

u = 5{,}67\,k\;\Bigl(\frac{\tau}{\rho}\Bigr)^{1/2},
onde agora \tau está em \mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^2, \rho em \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3 e u em \mathrm{ft}/\mathrm{s}.

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