1. (Velocidade inicial diferente de zero) Encontre a deflexão u(x, t ) da corda de comprimento L=\pi e c^{2}=1 para um deslocamento inicial zero e um velocidade inicial “triangular” u_{t}(x, 0)=0,01 x se 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \pi, u_{t}(x, 0)=0,01(\pi-x) se \frac{1}{2} \pi \leqq x \leqq \pi. (Condições iniciais com u_{t}(x, 0) \neq 0 são difíceis de se realizar experimentalmente.)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a deflexão [u(x,t)) de uma corda de comprimento L=\pi com c^{2}=1 (logo c=1), sujeita a deslocamento inicial nulo e velocidade inicial triangular. As informações relevantes são:
  • Comprimento da corda: \;L=\pi.
  • Velocidade de propagação: \;c=1 (pois c^{2}=1).
  • Condição de deslocamento inicial: \;u(x,0)=0 para 0\le x\le\pi.
  • Condição de velocidade inicial: \;u_{t}(x,0)=g(x), com g(x)=\begin{cases} 0,01\,x, & 0\le x\le \dfrac{\pi}{2},\\[6pt] 0,01\,(\pi-x), & \dfrac{\pi}{2}\le x\le\pi. \end{cases}(Notei que o enunciado descreve uma velocidade triangular que atinge o máximo em (x=\dfrac{\pi}{2}].)
  • Condições de contorno: por ser uma corda com extremidades fixas, assumimos as condições de contorno homogêneas u(0,t)=0,\qquad u(\pi,t)=0\quad\text{para todo }t\ge0.
O que o problema pede: determinar explicitamente u(x,t) satisfazendo a equação da onda e as condições iniciais e de contorno acima.]

Passo 2

Modelo e solução geral por séries (intuição e fórmula usada).
A equação da onda unidimensional é
u_{tt}=c^{2}u_{xx}.
Aqui c=1, então
u_{tt}=u_{xx}.
Explicando as notações:
  • u(x,t) é a deflexão no ponto x e tempo t.
  • u_{t} é a derivada parcial em relação a t (velocidade da corda).
  • u_{tt} é a segunda derivada em t (aceleração).
  • u_{x}, u_{xx} derivadas em x.
Para condições de contorno homogêneas em um intervalo finito [0,\pi] e funções iniciais razoáveis, a solução se expande em autovetores (seno) da forma
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Big(a_{n}\cos(\omega_{n}t)+b_{n}\sin(\omega_{n}t)\Big)\sin(n x),
onde:
  • as funções \sin(n x) são autovetores que satisfazem as condições u(0,t)=u(\pi,t)=0;
  • \omega_{n}=c\cdot \dfrac{n\pi}{L}. Como L=\pi e c=1, obtemos \omega_{n}=n.
Agora explico como obter os coeficientes a_{n} e b_{n}:
  • a_{n} são os coeficientes da série de Fourier seno de u(x,0)=f(x): a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(n x)\,dx.
  • b_{n} aparecem ligados à velocidade inicial g(x)=u_{t}(x,0). Derivando a série em t e avaliando em t=0 obtemos u_{t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\,\omega_{n}\sin(n x)=g(x).Multiplicando por \sin(n x) e integrando, obtém-se b_{n}=\frac{2}{\pi}\,\frac{1}{\omega_{n}}\int_{0}^{\pi} g(x)\sin(n x)\,dx.
No nosso caso f(x)=0 (deslocamento inicial nulo), logo a_{n}=0 para todo n. Assim a solução fica
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin(\omega_{n}t)\sin(n x)
com \omega_{n}=n e
b_{n}=\frac{2}{\pi}\,\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi} g(x)\sin(n x)\,dx.

Passo 3

Preparar o cálculo dos coeficientes: simplificações por simetria.
Definimos a função auxiliar (sem o fator 0,01\)): \[h(x)=\begin{cases} x, & 0\le x\le \dfrac{\pi}{2},\\[4pt] \pi-x, & \dfrac{\pi}{2}\le x\le\pi, \end{cases}
de modo que (g(x)=0,01,h(x)].
Vamos analisar a integral
I_{n}=\int_{0}^{\pi} h(x)\sin(n x)\,dx.
Dividimos em duas integrais:
I_{n}=\int_{0}^{\pi/2} x\sin(n x)\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi} (\pi-x)\sin(n x)\,dx.
Faço agora uma mudança na segunda integral: em x\mapsto \pi-y com y\in[0,\pi/2]. Então
\int_{\pi/2}^{\pi} (\pi-x)\sin(n x)\,dx = \int_{0}^{\pi/2} y\sin(n(\pi-y))\,dy.
Use a identidade trigonométrica
\sin(n(\pi-y))=\sin(n\pi)\cos(n y)-\cos(n\pi)\sin(n y)=-\cos(n\pi)\sin(n y)=(-1)^{n+1}\sin(n y),
pois \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^{n}. Então a segunda integral vira
\int_{0}^{\pi/2} y\,(-1)^{n+1}\sin(n y)\,dy.
Somando com a primeira parte:
I_{n}=\big(1+(-1)^{n+1}\big)\int_{0}^{\pi/2} x\sin(n x)\,dx.
Da expressão anterior vemos que:
  • Se n for par, (-1)^{n+1}=-1 e portanto 1+(-1)^{n+1}=0, então I_{n}=0 para n par.
  • Se n for ímpar, (-1)^{n+1}=1 e portanto 1+(-1)^{n+1}=2, então I_{n}=2\int_{0}^{\pi/2} x\sin(n x)\,dx\quad\text{para \(n\) ímpar.}í
Portanto apenas os modos ímpares contribuem (coeficientes zero para modos pares). Isso já simplifica muito o trabalho.]

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} x\sin(n x)\,dx por partes.
Seja
J_{n}=\int_{0}^{\pi/2} x\sin(n x)\,dx.
Fazemos integração por partes: escolhemos u=x e dv=\sin(n x)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(n x)}{n}. Assim
J_{n}=\left.-\frac{x\cos(n x)}{n}\right|_{0}^{\pi/2}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi/2}\cos(n x)\,dx.
Calcule o termo integral final:
\int_{0}^{\pi/2}\cos(n x)\,dx=\left.\frac{\sin(n x)}{n}\right|_{0}^{\pi/2}=\frac{\sin(n\pi/2)}{n}.
Substituindo em J_{n}:
J_{n}=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(n\pi/2)}{n}+\frac{1}{n}\cdot\frac{\sin(n\pi/2)}{n} =-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(n\pi/2)}{n}+\frac{\sin(n\pi/2)}{n^{2}}.

Passo 5

Usar o resultado de J_{n} na expressão de I_{n} e simplificar para n ímpar.
Lembre que I_{n}=2J_{n} para n ímpar e I_{n}=0 para n par. Então, para n ímpar:
I_{n}=2\left(-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(n\pi/2)}{n}+\frac{\sin(n\pi/2)}{n^{2}}\right) =-\pi\frac{\cos(n\pi/2)}{n}+\frac{2\sin(n\pi/2)}{n^{2}}.
Mas para n ímpar temos \cos(n\pi/2)=0 (porque \cos\big((2k+1)\pi/2\big)=0), então o primeiro termo some. Assim, para n ímpar:
I_{n}=\frac{2\sin(n\pi/2)}{n^{2}}.
E \sin(n\pi/2) para n=2k+1 vale (-1)^{k}. Portanto, para n ímpar podemos escrever
I_{n}=\frac{2}{n^{2}}(-1)^{\frac{n-1}{2}}.
Recapitulando:
\int_{0}^{\pi} h(x)\sin(n x)\,dx= \begin{cases} \dfrac{2}{n^{2}}(-1)^{\frac{n-1}{2}}, & n\text{ ímpar},\\[6pt] 0, & n\text{ par}. \end{cases}í]

Passo 6

Calcular os coeficientes b_{n} usando g(x)=0,01\,h(x).
Lembremos da fórmula
b_{n}=\frac{2}{\pi}\,\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi} g(x)\sin(n x)\,dx =\frac{2}{\pi}\,\frac{1}{n}\cdot 0,01\int_{0}^{\pi} h(x)\sin(n x)\,dx.
Substituindo o resultado de I_{n}:
  • Se n é par: \displaystyle \int_{0}^{\pi} h(x)\sin(n x)\,dx=0, então b_{n}=0 para n par.
  • Se n é ímpar:
    b_{n}=\frac{2}{\pi}\,\frac{1}{n}\cdot 0,01\cdot \frac{2}{n^{2}}(-1)^{\frac{n-1}{2}} =\frac{0,04}{\pi}\,\frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{n^{3}}.
Assim obtemos uma expressão simples: b_{n}=0 para n par, e para n ímpar
b_{n}=\frac{0,04}{\pi n^{3}}(-1)^{\frac{n-1}{2}}.

Passo 7

Escrever a solução final como série, explicitando que só termos ímpares aparecem.
Como a_{n}=0 (deslocamento inicial nulo) e \omega_{n}=n, a solução é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin(n t)\sin(n x).
Substituindo b_{n} e lembrando que só n ímpares contribuem, é conveniente reindexar com n=2k+1 ( k=0,1,2,\dots). Assim
u(x,t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{0,04}{\pi(2k+1)^{3}}(-1)^{k}\sin\big((2k+1)t\big)\sin\big((2k+1)x\big).

Passo 8

Interpretação rápida e exemplo numérico (para sentir a série).
  • O primeiro termo ( k=0, isto é n=1) é o dominante: \text{coeficiente }n=1:\quad b_{1}=\frac{0,04}{\pi}\approx 0,012732\ldotsentão o primeiro modo contribui com aproximadamente 0,0127\sin(t)\sin(x).
  • Modos pares não aparecem; os modos ímpares decaem como 1/n^{3}, o que garante convergência rápida da série e boa suavidade temporal/espacial.

Resposta

u(x,t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{0,04}{\pi(2k+1)^{3}}(-1)^{k}\sin\big((2k+1)t\big)\sin\big((2k+1)x\big).

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