(Velocidade inicial diferente de zero) Encontre a deflexão u(x, t ) da corda de comprimento L=\pi e c^{2}=1 para um deslocamento inicial zero e um velocidade inicial “triangular” u_{t}(x, 0)=0,01 x se 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \pi, u_{t}(x, 0)=0,01(\pi-x) se \frac{1}{2} \pi \leqq x \leqq \pi. (Condições iniciais com u_{t}(x, 0) \neq 0 são difíceis de se realizar experimentalmente.)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a deflexão [u(x,t)) de uma corda de comprimento L=\pi com c^{2}=1 (logo c=1), sujeita a deslocamento inicial nulo e velocidade inicial triangular. As informações relevantes são:
Comprimento da corda: \;L=\pi.
Velocidade de propagação: \;c=1 (pois c^{2}=1).
Condição de deslocamento inicial: \;u(x,0)=0 para 0\le x\le\pi.
Condição de velocidade inicial: \;u_{t}(x,0)=g(x), comg(x)=\begin{cases} 0,01\,x, & 0\le x\le \dfrac{\pi}{2},\\[6pt] 0,01\,(\pi-x), & \dfrac{\pi}{2}\le x\le\pi. \end{cases}(Notei que o enunciado descreve uma velocidade triangular que atinge o máximo em (x=\dfrac{\pi}{2}].)
Condições de contorno: por ser uma corda com extremidades fixas, assumimos as condições de contorno homogêneasu(0,t)=0,\qquad u(\pi,t)=0\quad\text{para todo }t\ge0.
O que o problema pede: determinar explicitamente u(x,t) satisfazendo a equação da onda e as condições iniciais e de contorno acima.]
Passo 2
Modelo e solução geral por séries (intuição e fórmula usada).
A equação da onda unidimensional é
u_{tt}=c^{2}u_{xx}.
Aqui c=1, então
u_{tt}=u_{xx}.
Explicando as notações:
u(x,t) é a deflexão no ponto x e tempo t.
u_{t} é a derivada parcial em relação a t (velocidade da corda).
u_{tt} é a segunda derivada em t (aceleração).
u_{x}, u_{xx} derivadas em x.
Para condições de contorno homogêneas em um intervalo finito [0,\pi] e funções iniciais razoáveis, a solução se expande em autovetores (seno) da forma
as funções \sin(n x) são autovetores que satisfazem as condições u(0,t)=u(\pi,t)=0;
\omega_{n}=c\cdot \dfrac{n\pi}{L}. Como L=\pi e c=1, obtemos \omega_{n}=n.
Agora explico como obter os coeficientes a_{n} e b_{n}:
a_{n} são os coeficientes da série de Fourier seno de u(x,0)=f(x):a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(n x)\,dx.
b_{n} aparecem ligados à velocidade inicial g(x)=u_{t}(x,0). Derivando a série em t e avaliando em t=0 obtemosu_{t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\,\omega_{n}\sin(n x)=g(x).Multiplicando por \sin(n x) e integrando, obtém-seb_{n}=\frac{2}{\pi}\,\frac{1}{\omega_{n}}\int_{0}^{\pi} g(x)\sin(n x)\,dx.
No nosso caso f(x)=0 (deslocamento inicial nulo), logo a_{n}=0 para todo n. Assim a solução fica
Interpretação rápida e exemplo numérico (para sentir a série).
O primeiro termo (k=0, isto é n=1) é o dominante:\text{coeficiente }n=1:\quad b_{1}=\frac{0,04}{\pi}\approx 0,012732\ldotsentão o primeiro modo contribui com aproximadamente 0,0127\sin(t)\sin(x).
Modos pares não aparecem; os modos ímpares decaem como 1/n^{3}, o que garante convergência rápida da série e boa suavidade temporal/espacial.