Uma barra lateralmente isolada de comprimento 10 cm , área de seção transversal de
, densidade
, condutividade térmica
e calor específico de
(esses dados correspondem à prata, um bom condutor de calor) tem uma temperatura inicial
e é mantida a
nas extremidades
e
. Encontre a temperatura
em instantes posteriores. Aqui,
é igual a:
Passo 1
O enunciado dá uma barra de comprimento
cm com seções transversais isoladas lateralmente, mantida nas extremidades
e
à temperatura
. Os dados físicos são:
A barras satisfaz a equação do calor unidimensional com condições de contorno homogêneas de Dirichlet e condição inicial
.
O enunciado, no fim, parece incompleto: ele termina em “Aqui, é igual a:” sem fornecer uma expressão para
. Portanto, o problema pede que encontremos
para
em função da condição inicial
. Como a forma explícita de
não foi fornecida, posso dar a solução geral (série de Fourier) em termos de
. Se você quiser a solução para um
específico, me diga qual é — mas não vou pedir isso agora, só apresento a solução genérica.
O enunciado, no fim, parece incompleto: ele termina em “Aqui,
Passo 2
Vou deduzir a equação de calor apropriada e calcular a difusividade térmica
.
Energeticamente, para um elemento de barra de comprimento a equação de calor é
Energeticamente, para um elemento de barra de comprimento
onde
é a área da seção e
é a temperatura. Note que
cancela, ficando
Definimos a difusividade térmica
Usando os números dados (atenção: usei vírgulas nos decimais conforme o enunciado),
Calculemos o denominador:
. Portanto
A equação do problema é então
com condições de contorno
e condição inicial
Passo 3
Método para resolver: separação de variáveis e expansão em séries de senos (série de Fourier em funções próprias). Vou explicar passo a passo a ideia: procuramos soluções do tipo separável
Substituindo na PDE,
Dividindo por
(supondo
e
não triviais) obtemos
onde
é uma constante de separação (coloquei sinal negativo por conveniência, pois com BCs homogêneas obtemos autovalores positivos). Isso gera dois ODEs:
Passo 4
Impondo as condições de contorno
para todas
, temos
. Pela teoria de Sturm–Liouville (aqui vamos desenvolver de forma concreta), os valores
que dão soluções não-triviais são
e as funções próprias correspondentes são
Explicando por que: a equação
tem soluções oscilatórias quando
. Impor
elimina o cosseno; impor
força
, logo
e daí
.
Passo 5
A equação temporal associada a cada autovalor é
cuja solução é
Multiplicando
por
obtemos as soluções separáveis
Passo 6
Pela linearidade da equação do calor, a solução geral (soma das soluções próprias) é a série
Impondo a condição inicial
obtemos a expansão de
na base
:
Agora, devemos determinar os coeficientes
via ortogonalidade dos senos.
Passo 7
Ortogonalidade e fórmula dos coeficientes: para
,
e para
,
Assim, multiplicando a série de
por
e integrando em
obtemos
Portanto a solução completa fica
Observe que substituí
como variável de integração para evitar confusão com
.
Passo 8
Substituindo o valor numérico aproximado de
calculado no Passo 2,
, temos a forma prática:
com
Comentário prático: para obter os
numericamente você precisa da expressão explícita de
e então avaliar as integrais (às vezes dá para calcular à mão; em outros casos usa-se integração numérica). Se você me der uma
específica, eu calculo os
e escrevo a série explícita.