Uma barra lateralmente isolada de comprimento 10 cm , área de seção transversal de 1 \mathrm{~cm}^{2}, densidade 10,6 \mathrm{gm} / \mathrm{cm}^{3}, condutividade térmica 1,04 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{cm} \mathrm{s}^{\circ} \mathrm{C}\right) e calor específico de 0,056 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{gm}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) (esses dados correspondem à prata, um bom condutor de calor) tem uma temperatura inicial f(x) e é mantida a 0^{\circ} \mathrm{C} nas extremidades x=0 e x=10. Encontre a temperatura u(x, t) em instantes posteriores. Aqui, f(x) é igual a:

Passo 1

O enunciado dá uma barra de comprimento 10 cm com seções transversais isoladas lateralmente, mantida nas extremidades x=0 e x=10 à temperatura 0^\circ\mathrm{C}. Os dados físicos são:
\text{área}=1\\ \mathrm{cm}^2,\qquad \rho=10,6\\ \mathrm{g/cm}^3,\qquad K=1,04\\ \mathrm{cal/(cm\\ s\\ ^\circ C)},\qquad c=0,056\\ \mathrm{cal/(g\\ ^\circ C)}.á
A barras satisfaz a equação do calor unidimensional com condições de contorno homogêneas de Dirichlet e condição inicial u(x,0)=f(x).
O enunciado, no fim, parece incompleto: ele termina em “Aqui, f(x) é igual a:” sem fornecer uma expressão para f(x). Portanto, o problema pede que encontremos u(x,t) para t>0 em função da condição inicial f(x). Como a forma explícita de f(x) não foi fornecida, posso dar a solução geral (série de Fourier) em termos de f(x). Se você quiser a solução para um f(x) específico, me diga qual é — mas não vou pedir isso agora, só apresento a solução genérica.

Passo 2

Vou deduzir a equação de calor apropriada e calcular a difusividade térmica \alpha.
Energeticamente, para um elemento de barra de comprimento dx a equação de calor é
\rho A c\, u_t = K A\, u_{xx},
onde A é a área da seção e u(x,t) é a temperatura. Note que A cancela, ficando
u_t = \frac{K}{\rho c}\, u_{xx}.
Definimos a difusividade térmica
\alpha=\frac{K}{\rho c}.
Usando os números dados (atenção: usei vírgulas nos decimais conforme o enunciado),
\alpha=\frac{1,04}{10,6\cdot 0,056}.
Calculemos o denominador: 10,6\cdot 0,056=0,5936. Portanto
\alpha=\frac{1,04}{0,5936}\approx 1,752.
A equação do problema é então
u_t=\alpha\, u_{xx},\qquad 0<x<10,\\ t>0,
com condições de contorno
u(0,t)=0,\qquad u(10,t)=0,
e condição inicial
u(x,0)=f(x).

Passo 3

Método para resolver: separação de variáveis e expansão em séries de senos (série de Fourier em funções próprias). Vou explicar passo a passo a ideia: procuramos soluções do tipo separável
u(x,t)=X(x)T(t).
Substituindo na PDE,
X(x)T'(t)=\alpha X''(x)T(t).
Dividindo por \alpha X T (supondo X e T não triviais) obtemos
\frac{T'(t)}{\alpha T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é uma constante de separação (coloquei sinal negativo por conveniência, pois com BCs homogêneas obtemos autovalores positivos). Isso gera dois ODEs:
X''+\lambda X=0,\qquad T'+\alpha\lambda T=0.

Passo 4

Impondo as condições de contorno u(0,t)=u(10,t)=0 para todas t, temos X(0)=X(10)=0. Pela teoria de Sturm–Liouville (aqui vamos desenvolver de forma concreta), os valores \lambda que dão soluções não-triviais são
\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{10}\right)^2,\qquad n=1,2,3,\dots
e as funções próprias correspondentes são
X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{10}\right).
Explicando por que: a equação X''+\lambda X=0 tem soluções oscilatórias quando \lambda>0. Impor X(0)=0 elimina o cosseno; impor X(10)=0 força \sin(\sqrt{\lambda}\,10)=0, logo \sqrt{\lambda}\,10=n\pi e daí \lambda=(n\pi/10)^2.

Passo 5

A equação temporal associada a cada autovalor é
T_n'(t)+\alpha\lambda_n T_n(t)=0,
cuja solução é
T_n(t)=C_n\exp\!\big(-\alpha\lambda_n t\big)=C_n\exp\!\Big(-\alpha\Big(\frac{n\pi}{10}\Big)^2 t\Big).
Multiplicando X_n por T_n obtemos as soluções separáveis
u_n(x,t)=C_n\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{10}\Big)\exp\!\Big(-\alpha\Big(\frac{n\pi}{10}\Big)^2 t\Big).

Passo 6

Pela linearidade da equação do calor, a solução geral (soma das soluções próprias) é a série
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{10}\Big)\exp\!\Big(-\alpha\Big(\frac{n\pi}{10}\Big)^2 t\Big).
Impondo a condição inicial u(x,0)=f(x) obtemos a expansão de f na base \{\sin(n\pi x/10)\}:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{10}\Big).
Agora, devemos determinar os coeficientes C_n via ortogonalidade dos senos.

Passo 7

Ortogonalidade e fórmula dos coeficientes: para m\neq n,
\int_{0}^{10}\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{10}\Big)\sin\!\Big(\frac{m\pi x}{10}\Big)\,dx=0,
e para m=n,
\int_{0}^{10}\sin^2\!\Big(\frac{n\pi x}{10}\Big)\,dx=\frac{10}{2}=5.
Assim, multiplicando a série de f(x) por \sin(n\pi x/10) e integrando em [0,10] obtemos
C_n=\frac{1}{5}\int_{0}^{10} f(x)\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{10}\Big)\,dx = \frac{2}{10}\int_{0}^{10} f(x)\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{10}\Big)\,dx.
Portanto a solução completa fica
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{10}\int_{0}^{10} f(s)\sin\!\Big(\frac{n\pi s}{10}\Big)\,ds\right)\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{10}\Big)\exp\!\Big(-\alpha\Big(\frac{n\pi}{10}\Big)^2 t\Big).
Observe que substituí s como variável de integração para evitar confusão com x.

Passo 8

Substituindo o valor numérico aproximado de \alpha calculado no Passo 2, \alpha\approx 1,752, temos a forma prática:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{10}\Big)\exp\!\Big(-1,752\;\Big(\frac{n\pi}{10}\Big)^2 t\Big),
com
C_n=\frac{2}{10}\int_{0}^{10} f(s)\sin\!\Big(\frac{n\pi s}{10}\Big)\,ds.
Comentário prático: para obter os C_n numericamente você precisa da expressão explícita de f(x) e então avaliar as integrais (às vezes dá para calcular à mão; em outros casos usa-se integração numérica). Se você me der uma f(x) específica, eu calculo os C_n e escrevo a série explícita.

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{10}\int_{0}^{10} f(s)\sin\!\Big(\frac{n\pi s}{10}\Big)\,ds\right)\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{10}\Big)\exp\!\Big(-\frac{1,04}{10,6\cdot0,056}\Big(\frac{n\pi}{10}\Big)^2 t\Big).

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