As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(i) Encontre as coordenadas polares (r, \theta) do ponto, onde r>0 e 0 \leq \theta<2 \pi.
(ii) Encontre as coordenadas polares (r, \theta) do ponto, onde r<0 e 0 \leq \theta<2 \pi.
(\sqrt{3},-1)

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas cartesianas do ponto: (\sqrt{3}, -1).\n
Pede duas representações em coordenadas polares (r,\theta):
(i) com r>0 e \;0 \le \theta < 2\pi;\n
(ii) com r<0 e \;0 \le \theta < 2\pi.\n
Dados importantes: x=\sqrt{3} e y=-1.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas que ligam coordenadas cartesianas x,y com polares r,\theta. Estas são fórmulas básicas e você vai usar na prova:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
A partir delas obtemos a fórmula para r:
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Essa fórmula dá o raio (distância do ponto à origem). Note que a raiz quadrada retorna um número não negativo; para representar com r>0 usamos esse r. Para obter \theta usamos a razão
\tan\theta = \frac{y}{x},
mas atenção: \tan^{-1}(y/x) dá um ângulo numa faixa principal (por exemplo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})), então precisamos ajustar com base no quadrante onde o ponto está (veremos isso a seguir).

Passo 3

Calcule r para o ponto dado usando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Substituindo x=\sqrt{3} e y=-1:
r = \sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
Portanto, a distância ao origem é 2. Para o item (i) que pede r>0, temos r=2.

Passo 4

Agora precisamos de \theta. Começamos calculando a razão y/x:
\frac{y}{x}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Um ângulo cujo \tan vale -\tfrac{1}{\sqrt{3}} é -\tfrac{\pi}{6} (ou também -30^\circ). Porém esse valor vem da função arctan na sua faixa principal; precisamos escolher \theta de acordo com o quadrante do ponto. Observando x=\sqrt{3}>0 e y=-1<0, o ponto está no quarto quadrante. No quarto quadrante o ângulo entre 0 e 2\pi que corresponde a -\tfrac{\pi}{6} é
\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}.
Assim, para r>0 e \;0\le\theta<2\pi obtemos a representação
(r,\theta)=\left(2,\frac{11\pi}{6}\right).

Passo 5

Agora vamos construir uma representação com r<0. Há uma relação útil e muito usada em prova:
(r,\theta)\quad\text{representa o mesmo ponto que}\quad(-r,\theta+\pi),
porque \cos(\theta+\pi)=-\cos\theta e \sin(\theta+\pi)=-\sin\theta, então
(-r)\cos(\theta+\pi)=r\cos\theta,\qquad (-r)\sin(\theta+\pi)=r\sin\theta.
Tomando a representação positiva que achamos \left(2,\tfrac{11\pi}{6}\right), podemos escrever uma com r<0 escolhendo r=-2 e determinando \theta tal que \theta+\pi=\tfrac{11\pi}{6}. Assim
\theta = \frac{11\pi}{6}-\pi = \frac{11\pi}{6}-\frac{6\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.
Verificação rápida (importante na prova): calcule as coordenadas a partir de \left(-2,\tfrac{5\pi}{6}\right).
\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Multiplicando por -2:
x = -2\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) = -2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{3},
y = -2\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) = -2\left(\frac{1}{2}\right)=-1.
Perfeito — recuperamos as coordenadas originais, então \left(-2,\tfrac{5\pi}{6}\right) é uma representação válida com r<0 e \theta em [0,2\pi).

Resposta

\displaystyle \left(2,\frac{11\pi}{6}\right)\n
\displaystyle \left(-2,\frac{5\pi}{6}\right)

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