As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(i) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
.
(ii) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
.
(i) Encontre as coordenadas polares
(ii) Encontre as coordenadas polares
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas cartesianas do ponto:
.\n
Pede duas representações em coordenadas polares :
(i) com e
;\n
(ii) com e
.\n
Dados importantes: e
.
Pede duas representações em coordenadas polares
(i) com
(ii) com
Dados importantes:
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas que ligam coordenadas cartesianas
com polares
. Estas são fórmulas básicas e você vai usar na prova:
A partir delas obtemos a fórmula para
:
Essa fórmula dá o raio (distância do ponto à origem). Note que a raiz quadrada retorna um número não negativo; para representar com
usamos esse
. Para obter
usamos a razão
mas atenção:
dá um ângulo numa faixa principal (por exemplo
), então precisamos ajustar com base no quadrante onde o ponto está (veremos isso a seguir).
Passo 3
Calcule
para o ponto dado usando
. Substituindo
e
:
Portanto, a distância ao origem é
. Para o item (i) que pede
, temos
.
Passo 4
Agora precisamos de
. Começamos calculando a razão
:
Um ângulo cujo
vale
é
(ou também
). Porém esse valor vem da função arctan na sua faixa principal; precisamos escolher
de acordo com o quadrante do ponto. Observando
e
, o ponto está no quarto quadrante. No quarto quadrante o ângulo entre
e
que corresponde a
é
Assim, para
e
obtemos a representação
Passo 5
Agora vamos construir uma representação com
. Há uma relação útil e muito usada em prova:
porque
e
, então
Tomando a representação positiva que achamos
, podemos escrever uma com
escolhendo
e determinando
tal que
. Assim
Verificação rápida (importante na prova): calcule as coordenadas a partir de
.
Multiplicando por
:
Perfeito — recuperamos as coordenadas originais, então
é uma representação válida com
e
em
.