(Velocidade inicial diferente de zero) Encontre a deflexão u(x, t) da corda de comprimento L=\pi e c^{2}=1 para um deslocamento inicial zero e um velocidade inicial “triangular” u_{t}(x, 0)=0,01 x se 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \pi, u_{t}(x, 0)=0,01(\pi-x) se \frac{1}{2} \pi \leqq x \leqq \pi. (Condições iniciais com u_{t}(x, 0) \neq 0 são difíceis de se realizar experimentalmente.)
Passo 1
O enunciado pede a deflexão u(x,t)\) de uma corda de comprimento \(L=\pi\) sujeita à equação da onda com \(c^{2}=1\) (logo \(c=1\)), condições de contorno de extremidades fixas (implícitas numa corda fixa): \(u(0,t)=u(\pi,t)=0\), deslocamento inicial nulo \(u(x,0)=0\) e velocidade inicial triangular igual a
\[u_{t}(x,0)=g(x)= \begin{cases} 0{,}01\,x, & 0\le x\le \dfrac{\pi}{2},\\[6pt] 0{,}01\,(\pi-x), & \dfrac{\pi}{2}\le x\le \pi. \end{cases}
As perguntas claras que precisamos responder:
Encontrar u(x,t)\] para \(0\le x\le\pi e t\ge0.
Usar as informações dadas: comprimento L=\pi, velocidade de propagação c=1, u(x,0)=0 e u_t(x,0)=g(x) (a função triangular acima).]
Passo 2
Qual método usar e por quê (resumindo a teoria necessária):
Para a equação da onda linear unidimensional com contorno fixo em [0,\pi], a solução usual é feita por separação de variáveis e expansão em série de senos (autofunções \sin(nx)) porque essas funções satisfazem automaticamente as condições de contorno u(0,t)=u(\pi,t)=0.
Escrever a solução final como série (reindexando para os índices ímpares): tomando n=2m+1 com m=0,1,2,\dots e observando que para n=2m+1 temos k=m, a solução é