(Velocidade inicial diferente de zero) Encontre a deflexão u(x, t) da corda de comprimento L=\pi e c^{2}=1 para um deslocamento inicial zero e um velocidade inicial “triangular” u_{t}(x, 0)=0,01 x se 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \pi, u_{t}(x, 0)=0,01(\pi-x) se \frac{1}{2} \pi \leqq x \leqq \pi. (Condições iniciais com u_{t}(x, 0) \neq 0 são difíceis de se realizar experimentalmente.)

Passo 1

O enunciado pede a deflexão u(x,t)\) de uma corda de comprimento \(L=\pi\) sujeita à equação da onda com \(c^{2}=1\) (logo \(c=1\)), condições de contorno de extremidades fixas (implícitas numa corda fixa): \(u(0,t)=u(\pi,t)=0\), deslocamento inicial nulo \(u(x,0)=0\) e velocidade inicial triangular igual a \[u_{t}(x,0)=g(x)= \begin{cases} 0{,}01\,x, & 0\le x\le \dfrac{\pi}{2},\\[6pt] 0{,}01\,(\pi-x), & \dfrac{\pi}{2}\le x\le \pi. \end{cases}
As perguntas claras que precisamos responder:
  • Encontrar u(x,t)\] para \(0\le x\le\pi e t\ge0.
  • Usar as informações dadas: comprimento L=\pi, velocidade de propagação c=1, u(x,0)=0 e u_t(x,0)=g(x) (a função triangular acima).]

Passo 2

Qual método usar e por quê (resumindo a teoria necessária):
  • Para a equação da onda linear unidimensional com contorno fixo em [0,\pi], a solução usual é feita por separação de variáveis e expansão em série de senos (autofunções \sin(nx)) porque essas funções satisfazem automaticamente as condições de contorno u(0,t)=u(\pi,t)=0.
  • A forma geral da solução (com c=1 e L=\pi) é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}\cos(nt)+B_{n}\sin(nt)\bigr)\sin(nx).
Aqui cada termo \sin(nx) é um modo espacial; os coeficientes A_n e B_n são determinados pelas condições iniciais. Explico por que:
  • A separação de variáveis leva a modos com frequências naturais n (pois n\pi/L=n quando L=\pi).
  • A série de senos é usada por ortogonalidade: para m\neq n,
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx=0,
e para m=n,
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}(nx)\,dx=\dfrac{\pi}{2}.
Esse fato permite extrair cada coeficiente aplicando o produto interno com \sin(nx).

Passo 3

Aplicar as condições iniciais para relacionar A_n e B_n:
  • Condição u(x,0)=0
0=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(nx)\quad\Rightarrow\quad A_{n}=0\\ \text{para todo }n.
  • Condição u_{t}(x,0)=g(x). A derivada temporal é
u_{t}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(-A_{n}n\sin(nt)+B_{n}n\cos(nt)\bigr)\sin(nx).
Em t=0, com A_n=0,
g(x)=u_{t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} n B_{n}\sin(nx).
Multiplicando ambos os lados por \sin(mx) e integrando de 0 a \pi, e usando ortogonalidade, obtemos a fórmula para B_n:
\int_{0}^{\pi} g(x)\sin(nx)\,dx = n B_{n}\cdot \frac{\pi}{2},
logo
B_{n}=\dfrac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi} g(x)\sin(nx)\,dx.
Essa é a fórmula que vamos calcular. Depois a solução fica
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} B_{n}\sin(nt)\sin(nx).

Passo 4

Calcular os coeficientes B_{n}: primeiro a integral
I_{n}=\int_{0}^{\pi} g(x)\sin(nx)\,dx.
Usando a definição de g(x) (triangular), separamos:
I_{n}=0{,}01\left(\int_{0}^{\pi/2} x\sin(nx)\,dx + \int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx\right).
Agora calculamos as duas integrais. Defina
J_{1}=\int_{0}^{\pi/2} x\sin(nx)\,dx.
Fazemos integração por partes: tome u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
J_{1}=-\frac{x\cos(nx)}{n}\Big|_{0}^{\pi/2}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi/2}\cos(nx)\,dx.
A segunda integral dá \dfrac{\sin(nx)}{n}\Big|_{0}^{\pi/2}. Portanto
J_{1}=-\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\cos(n\pi/2)}{n}+\frac{1}{n^{2}}\sin(n\pi/2).

Passo 5

Apresentar a segunda integral e usar simetria para simplificar:
J_{2}=\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx.
Faça a mudança s=\pi-x. Quando x=\pi/2, s=\pi/2; quando x=\pi, s=0. Observando
\sin(nx)=\sin(n(\pi-s))=\sin(n\pi-ns)=(-1)^{n+1}\sin(ns),
temos
J_{2}=(-1)^{n+1}\int_{0}^{\pi/2} s\sin(ns)\,ds = (-1)^{n+1}J_{1}.
Portanto
I_{n}=0{,}01\bigl(J_{1}+J_{2}\bigr)=0{,}01\,J_{1}\bigl(1+(-1)^{n+1}\bigr).
Isso mostra imediatamente que I_{n}=0 quando 1+(-1)^{n+1}=0, isto é, quando n é par. Logo somente n ímpares contribuem.

Passo 6

Calcular I_{n} para n ímpar explicitamente:
  • Para n ímpar, n=2k+1, temos \cos(n\pi/2)=0 e \sin(n\pi/2)=(-1)^{k}. Substituindo no J_{1} do Passo 4:
J_{1}=\frac{1}{n^{2}}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=\frac{(-1)^{k}}{n^{2}}.
  • Então para n ímpar (somente esses),
I_{n}=0{,}01\cdot 2\cdot J_{1}=0{,}02\cdot\frac{(-1)^{k}}{n^{2}}.
  • Agora o coeficiente B_{n} (recordando B_{n}=\dfrac{2}{n\pi}I_{n}) fica, para n ímpar,
B_{n}=\dfrac{2}{n\pi}\cdot 0{,}02\cdot\frac{(-1)^{k}}{n^{2}}=\dfrac{0{,}04}{\pi}\cdot\frac{(-1)^{k}}{n^{3}}.
Para n par, B_{n}=0.

Passo 7

Escrever a solução final como série (reindexando para os índices ímpares): tomando n=2m+1 com m=0,1,2,\dots e observando que para n=2m+1 temos k=m, a solução é
u(x,t)=\sum_{m=0}^{\infty} B_{2m+1}\sin\bigl((2m+1)t\bigr)\sin\bigl((2m+1)x\bigr),
com
B_{2m+1}=\dfrac{0{,}04}{\pi}\cdot\frac{(-1)^{m}}{(2m+1)^{3}}.
Assim uma forma compacta é
u(x,t)=\dfrac{0{,}04}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(2m+1)^{3}}\sin\bigl((2m+1)t\bigr)\sin\bigl((2m+1)x\bigr).

Resposta

u(x,t)=\dfrac{0{,}04}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(2m+1)^{3}}\sin\bigl((2m+1)t\bigr)\sin\bigl((2m+1)x\bigr).

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