Para as questões 3, 4 e 5 a seguir, considere a função
f(x)=\frac{-3 x+2}{x^{2}}
e as suas derivadas f^{\prime}(x)=\frac{3 x-4}{x^{3}} e f^{\prime \prime}(x)=\frac{-6 x+12}{x^{4}}\
Sobre extremos locais e pontos de inflexão da função f é CORRETO afirmar:
(a) \left(\frac{4}{3}, f\left(\frac{4}{3}\right)\right) é ponto de mínimo local de f.
(b) f tem mínimo local em x=\frac{4}{3} e máximo local em x=0.
(c) f não tem mínimo local nem máximo local.
(d) f tem ponto de inflexão em x=0 e em x=2.
(e) f^{\prime \prime}(x)>0 no intervalo (2,+\infty).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{-3 x+2}{x^{2}}
e suas derivadas
f'(x)=\frac{3 x-4}{x^{3}},\qquad f''(x)=\frac{-6 x+12}{x^{4}}.
O que se pede é identificar, entre as alternativas (a)–(e), quais afirmações sobre extremos locais e pontos de inflexão de f são corretas.
Informações relevantes feitas explícitas:
  • Domínio de f: todos os x tais que x\neq0 (porque há x^{2} no denominador).
  • Os pontos críticos de f são os x do domínio onde f'(x)=0 ou onde f' não existe.
  • Pontos de inflexão são pontos do domínio onde a concavidade muda (tipicamente onde f''(x)=0 e ocorre troca de sinal de f'', ou onde f'' é indefinida mas há mudança de concavidade).
  • As alternativas a avaliar:
    (a) \left(\tfrac{4}{3}, f\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\right) é mínimo local.
    (b) mínimo em x=\tfrac{4}{3} e máximo em x=0.
    (c) não há mínimos nem máximos locais.
    (d) ponto de inflexão em x=0 e em x=2.
    (e) f''(x)>0 em (2,+\infty).

Passo 2

Encontrar pontos críticos: resolver f'(x)=0 com x no domínio.
f'(x)=\frac{3x-4}{x^{3}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x-4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{4}{3}.
Além disso f' é indefinida em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio de f, então não é um ponto onde a função esteja definida. Conclusão: o único ponto crítico (no domínio) é x=\tfrac{4}{3}.
Explicação didática rápida: um ponto crítico é onde a derivada se anula (horizontal) ou não existe; só esses pontos podem ser candidatos a extremos locais. Mas o ponto deve pertencer ao domínio da função — se a função não está definida lá, não pode ser um máximo ou mínimo local da função.

Passo 3

Aplicar o teste da segunda derivada para classificar o ponto crítico x=\tfrac{4}{3}.
Lembrete do teste da segunda derivada (aula curta): se f''\text{(c)}>0 e f'\text{(c)}=0 então f tem mínimo local em x=c; se f''\text{(c)}<0 então f tem máximo local em x=c. Se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo e precisa-se analisar mais.
Aqui f'(4/3)=0 (já verificado). Vamos calcular f''\!\left(\tfrac{4}{3}\right).

Passo 4

Calcular f''\!\left(\tfrac{4}{3}\right) passo a passo:
f''(x)=\frac{-6x+12}{x^{4}}=\frac{-6\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)+12}{\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^{4}}.
Numerador:
-6\cdot\frac{4}{3}+12=-8+12=4.
Denominador:
\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^{4}=\frac{4^{4}}{3^{4}}=\frac{256}{81}.
Portanto
f''\!\left(\tfrac{4}{3}\right)=\frac{4}{256/81}=4\cdot\frac{81}{256}=\frac{324}{256}=\frac{81}{64}>0.
Como f''\!\left(\tfrac{4}{3}\right)>0 e f'\!\left(\tfrac{4}{3}\right)=0, pelo teste da segunda derivada x=\tfrac{4}{3} é ponto de mínimo local. Assim a alternativa (a) é verdadeira.
Comentário amigável: então esse candidato virou um mínimo mesmo — ótimo!

Passo 5

Analisar a afirmação sobre x=0 (presente na alternativa (b) e (d)).
A função f NÃO está definida em x=0 (domínio exclui 0). Portanto não faz sentido falar em máximo local em x=0 para f — um máximo local exige que a função seja definida no ponto. Logo qualquer alternativa que afirme que x=0 é máximo local ou ponto de inflexão está incorreta.
Observação prática: às vezes um ponto fora do domínio pode ser um ponto de assíntota vertical, mas isso não é um máximo/minimo local nem um ponto de inflexão da função.

Passo 6

Determinar pontos de inflexão: resolver f''(x)=0 (quando x no domínio) e verificar mudança de sinal da concavidade.
Resolver f''(x)=0:
\frac{-6x+12}{x^{4}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -6x+12=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=2.
Verificar se x=2 está no domínio: 2\neq0, logo sim.
Agora verificar mudança de sinal de f'' em torno de x=2. Note que
f''(x)=\frac{-6x+12}{x^{4}}=\frac{-6(x-2)}{x^{4}}.
Como x^{4}>0 para todo x\neq0, o sinal de f''(x) coincide com o sinal de -6(x-2), ou seja:
  • Para x<2 (mas x\neq0) tem-se x-2<0\Rightarrow -6(x-2)>0\Rightarrow f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Para x>2 tem-se x-2>0\Rightarrow -6(x-2)<0\Rightarrow f''(x)<0 (concavidade para baixo).
Há, portanto, uma troca de concavidade em x=2, e como f é definida em x=2 temos ponto de inflexão em x=2.
Conclusão: x=2 é ponto de inflexão; x=0 não é (não pertence ao domínio). Logo a alternativa (d) está incorreta por citar x=0 como inflexão.

Passo 7

Avaliar a alternativa (e): ela afirma que f''(x)>0 no intervalo (2,+\infty).
Mas do passo anterior temos que para x>2 a expressão -6(x-2) é negativa e x^{4}>0, logo
f''(x)=\frac{-6(x-2)}{x^{4}}<0\quad\text{para todo }x>2.
Portanto f''(x)>0 em (2,+\infty) é falso; na verdade f''(x)<0 ali. Assim (e) é falsa.

Passo 8

Resumo das verificações:
  • (a) verdadeira (já demonstrado: mínimo local em x=\tfrac{4}{3}).
  • (b) falsa (não existe máximo em x=0 porque f não está definida em 0).
  • (c) falsa (há um mínimo em x=\tfrac{4}{3}).
  • (d) falsa (há inflexão em x=2, mas não em x=0 pois 0 não pertence ao domínio).
  • (e) falsa (para x>2 tem-se f''(x)<0, não >0).

Resposta

(a)

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