Para as questões 3, 4 e 5 a seguir, considere a função
e as suas derivadas
e
Sobre extremos locais e pontos de inflexão da função
é CORRETO afirmar:
(a)
é ponto de mínimo local de
.
(b)
tem mínimo local em
e máximo local em
.
(c)
não tem mínimo local nem máximo local.
(d)
tem ponto de inflexão em
e em
.
(e)
no intervalo
.
Sobre extremos locais e pontos de inflexão da função
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a função
e suas derivadas
O que se pede é identificar, entre as alternativas (a)–(e), quais afirmações sobre extremos locais e pontos de inflexão de
são corretas.
Informações relevantes feitas explícitas:
- Domínio de
: todos os tais que (porque há no denominador). - Os pontos críticos de
são os do domínio onde ou onde não existe. - Pontos de inflexão são pontos do domínio onde a concavidade muda (tipicamente onde
e ocorre troca de sinal de , ou onde é indefinida mas há mudança de concavidade). - As alternativas a avaliar:
(a)é mínimo local.
(b) mínimo eme máximo em .
(c) não há mínimos nem máximos locais.
(d) ponto de inflexão eme em .
(e)em .
Passo 2
Encontrar pontos críticos: resolver
com
no domínio.
Além disso
é indefinida em
, mas
não pertence ao domínio de
, então não é um ponto onde a função esteja definida. Conclusão: o único ponto crítico (no domínio) é
.
Explicação didática rápida: um ponto crítico é onde a derivada se anula (horizontal) ou não existe; só esses pontos podem ser candidatos a extremos locais. Mas o ponto deve pertencer ao domínio da função — se a função não está definida lá, não pode ser um máximo ou mínimo local da função.
Passo 3
Aplicar o teste da segunda derivada para classificar o ponto crítico
.
Lembrete do teste da segunda derivada (aula curta): se
e
então
tem mínimo local em
; se
então
tem máximo local em
. Se
o teste é inconclusivo e precisa-se analisar mais.
Aqui
(já verificado). Vamos calcular
.
Passo 4
Calcular
passo a passo:
Numerador:
Denominador:
Portanto
Como
e
, pelo teste da segunda derivada
é ponto de mínimo local. Assim a alternativa (a) é verdadeira.
Comentário amigável: então esse candidato virou um mínimo mesmo — ótimo!
Passo 5
Analisar a afirmação sobre
(presente na alternativa (b) e (d)).
A função
NÃO está definida em
(domínio exclui
). Portanto não faz sentido falar em máximo local em
para
— um máximo local exige que a função seja definida no ponto. Logo qualquer alternativa que afirme que
é máximo local ou ponto de inflexão está incorreta.
Observação prática: às vezes um ponto fora do domínio pode ser um ponto de assíntota vertical, mas isso não é um máximo/minimo local nem um ponto de inflexão da função.
Passo 6
Determinar pontos de inflexão: resolver
(quando
no domínio) e verificar mudança de sinal da concavidade.
Resolver
:
Verificar se
está no domínio:
, logo sim.
Agora verificar mudança de sinal de
em torno de
. Note que
Como
para todo
, o sinal de
coincide com o sinal de
, ou seja:
- Para
(mas ) tem-se (concavidade para cima). - Para
tem-se (concavidade para baixo).
Há, portanto, uma troca de concavidade em
, e como
é definida em
temos ponto de inflexão em
.
Conclusão:
é ponto de inflexão;
não é (não pertence ao domínio). Logo a alternativa (d) está incorreta por citar
como inflexão.
Passo 7
Avaliar a alternativa (e): ela afirma que
no intervalo
.
Mas do passo anterior temos que para
a expressão
é negativa e
, logo
Portanto
em
é falso; na verdade
ali. Assim (e) é falsa.
Passo 8
Resumo das verificações:
- (a) verdadeira (já demonstrado: mínimo local em
). - (b) falsa (não existe máximo em
porque não está definida em ). - (c) falsa (há um mínimo em
). - (d) falsa (há inflexão em
, mas não em pois não pertence ao domínio). - (e) falsa (para
tem-se , não ).
Resposta
(a)