Use regra da cadeia para derivar a função
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a função
definida por
o enunciado pede para calcular a derivada
.
- Informação útil extraída: o expoente é a função
, que será a “função interna” quando aplicarmos a regra da cadeia.
Passo 2
Lembrando a regra da cadeia (a ferramenta principal aqui):
- Se
com diferenciável, então vale a fórmula
- Explicação simples: a derivada da exponencial é a própria exponencial, multiplicada pela derivada do que está no expoente (isso é exatamente a regra da cadeia: derivar a função externa avaliando-a na interna e multiplicar pela derivada da interna).
Passo 3
Identificar a função interna
e preparar para derivá‑la:
- Aqui tome
- Para obter
precisamos de e então aplicar a fórmula do passo anterior.
Passo 4
Derivar
usando a regra do produto e a regra da cadeia:
- Regra do produto: se
então . - Aplique com
e . - Temos
. - Agora
: usar regra da cadeia sobre . A derivada de em relação a é ; como e , resulta
- Portanto
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
:
- Pela fórmula do passo 2, com
e calculado acima,
- Substituindo
e obtemos