Use regra da cadeia para derivar a função f(x)=e^{x \operatorname{sen} 2 x}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a função f definida por f(x)=e^{x\operatorname{sen}2x},
o enunciado pede para calcular a derivada f'(x).
  • Informação útil extraída: o expoente é a função x\operatorname{sen}2x, que será a “função interna” quando aplicarmos a regra da cadeia.

Passo 2

Lembrando a regra da cadeia (a ferramenta principal aqui):
  • Se \,F(x)=e^{u(x)} com u(x) diferenciável, então vale a fórmula
F'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.
  • Explicação simples: a derivada da exponencial é a própria exponencial, multiplicada pela derivada do que está no expoente (isso é exatamente a regra da cadeia: derivar a função externa avaliando-a na interna e multiplicar pela derivada da interna).

Passo 3

Identificar a função interna u(x) e preparar para derivá‑la:
  • Aqui tome u(x)=x\operatorname{sen}2x.
  • Para obter f'(x) precisamos de u'(x) e então aplicar a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Derivar u(x) usando a regra do produto e a regra da cadeia:
  • Regra do produto: se \,u(x)=g(x)\,h(x) então \,u'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).
  • Aplique com g(x)=x e h(x)=\operatorname{sen}2x.
  • Temos g'(x)=1.
  • Agora h'(x): usar regra da cadeia sobre \operatorname{sen}(2x). A derivada de \operatorname{sen}t em relação a t é \cos t; como t=2x e t'=2, resulta
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}2x\big)=2\cos2x.
  • Portanto
u'(x)=1\cdot\operatorname{sen}2x + x\cdot(2\cos2x)=\operatorname{sen}2x+2x\cos2x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter f'(x):
  • Pela fórmula do passo 2, com u(x)=x\operatorname{sen}2x e u'(x) calculado acima,
f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.
  • Substituindo u'(x) e u(x) obtemos
f'(x)=\big(\operatorname{sen}2x+2x\cos2x\big)\,e^{x\operatorname{sen}2x}.

Resposta

f'(x)=\big(\operatorname{sen}2x+2x\cos2x\big)\,e^{x\operatorname{sen}2x}

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