Qual a velocidade máxima v_{m} do bloco, em módulo, e onde se encontra quando tem essa velocidade?
Um bloco cuja massa m é 1136,2 \mathrm{~g} está preso a uma mola cuja constante elástica k é 85,1 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância x=9,6 \mathrm{~cm} a partir da posição de equilíbrio em x=0 e liberado a partir do repouso no instante t=0.
Escolha uma opção:
a. 0,03 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e x=-0,10 \mathrm{~m}
b. 18,58 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e x=0
c. 2,63 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e x=0
d. 117,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e x=9,60 \mathrm{~cm}
e. 0,83 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e $x=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a velocidade máxima em módulo do bloco v_{m} e onde (qual posição x) o bloco se encontra quando atinge essa velocidade.
Dados fornecidos:
m=1136,2\\ \mathrm{g},\qquad k=85,1\\ \mathrm{N/m},\qquad x_{\text{inicial}}=9,6\\ \mathrm{cm},
o bloco é liberado a partir do repouso em t=0 sobre superfície sem atrito a partir da posição x=+9,6\\ \mathrm{cm} (posição de equilíbrio em x=0).
Nada mais será assumido além desses dados.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicação didática): energia mecânica em um sistema massa-mola sem atrito.
  • A mola armazena energia potencial elástica dada por
U_s(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2},
onde k é a constante elástica e x é a elongação em relação à posição de equilíbrio.
  • A massa tem energia cinética
K=\tfrac{1}{2}m v^{2},
onde m é a massa e v a velocidade.
Como não há atrito, a energia mecânica total é conservada:
E=K+U_s=\text{constante}.
Ao soltar o bloco a partir do repouso na amplitude A, inicialmente K=0 e U_s=\tfrac{1}{2}kA^{2}. A velocidade máxima ocorre quando a energia potencial elástica é mínima (isto é, quando x=0), porque então toda a energia está na forma cinética.

Passo 3

Equacionando energia entre a posição inicial (amplitude A) e o ponto de máxima velocidade (equilíbrio x=0):
\tfrac{1}{2}kA^{2}=\tfrac{1}{2}m v_{m}^{2}.
Cancelando \tfrac{1}{2} e isolando v_{m} obtemos a fórmula útil
v_{m}=A\sqrt{\frac{k}{m}}.
Comentário didático: essa mesma relação pode ser vista a partir do movimento harmônico simples, onde a velocidade máxima é v_{m}=\omega A e \omega=\sqrt{k/m}. Aqui A é a amplitude (valor absoluto da elongação inicial).

Passo 4

Converter unidades para o SI e identificar a amplitude:
m=1136,2\\ \mathrm{g}=1,1362\\ \mathrm{kg},
A=9,6\\ \mathrm{cm}=0,096\\ \mathrm{m}.
Sempre use as mesmas unidades (SI) nas fórmulas para que os resultados fiquem coerentes.

Passo 5

Calcular o coeficiente \dfrac{k}{m}:
\frac{k}{m}=\frac{85,1}{1,1362}\\ \mathrm{s^{-2}}\approx 74,8988\\ \mathrm{s^{-2}}.
Explanação: dividimos a constante da mola pela massa para obter a “frequência ao quadrado” do sistema, que tem unidade \mathrm{s^{-2}}.

Passo 6

Calcular \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}:
\omega=\sqrt{74,8988}\\ \mathrm{s^{-1}}\approx 8,6499\\ \mathrm{s^{-1}}.
Breve comentário: extraímos a raiz quadrada desse valor para obter a frequência angular do movimento.

Passo 7

Calcular a velocidade máxima usando v_{m}=A\omega:
v_{m}=0,096\cdot 8,6499\\ \mathrm{m/s}\approx 0,8304\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com duas casas decimais (consistência com os dados dados) obtemos
v_{m}\approx 0,83\\ \mathrm{m/s}.
Além disso, pela argumentação de conservação de energia (Passo 2–3), essa velocidade máxima ocorre na posição de equilíbrio
x=0.

Resposta

v_{m}=0,83\\ \mathrm{m/s}
x=0

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