Um blodo de 50,0 \mathrm{~g} conectado a uma mola com uma constante elástica de 35,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m} oscila sobre uma superfície horizontal sem atrito com uma amplitude de 4,00 \mathrm{~cm}. Encontre
(a) a energia total do sistema,
(b) a velocidade do bloco quando o deslocamento é de 1,00 \mathrm{~cm}.
(c) Se agora o deslocamento é de 3,00 \mathrm{~cm}, encontre a enegia cinética,
(d) a energia potencial.

Passo 1

O enunciado dá um bloco ligado a uma mola que oscila sem atrito. Perguntas: (a) energia total do sistema; (b) velocidade do bloco quando o deslocamento é 1,00\\ \mathrm{cm}; (c) energia cinética quando o deslocamento é 3,00\\ \mathrm{cm}; (d) energia potencial quando o deslocamento é 3,00\\ \mathrm{cm}.
Informações fornecidas (todas escritas em notação matemática):
m = 50,0\\ \mathrm{g} = 0,0500\\ \mathrm{kg}
k = 35,0\\ \mathrm{N/m}
A = 4,00\\ \mathrm{cm} = 0,0400\\ \mathrm{m}
x_1 = 1,00\\ \mathrm{cm} = 0,0100\\ \mathrm{m}
x_2 = 3,00\\ \mathrm{cm} = 0,0300\\ \mathrm{m}

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (aula rápida e amigável):
  • Em um oscilador massa-mola ideal sem atrito, a energia mecânica total E é conservada e é a soma da energia cinética K e da energia potencial elástica U:
E = K + U.
  • A energia potencial elástica da mola quando a massa está a um deslocamento x da posição de equilíbrio é
U(x)=\tfrac{1}{2}kx^{2},
onde k é a constante elástica e x o deslocamento (em metros).
  • A energia cinética é
K=\tfrac{1}{2}mv^{2},
onde m é a massa (em kg) e v a velocidade (em m/s).
  • No ponto de amplitude x=A toda a energia é potencial, logo a energia total é
E=\tfrac{1}{2}kA^{2}.
  • A velocidade em qualquer posição x pode ser obtida por conservação de energia:
\tfrac{1}{2}mv^{2}=E-\tfrac{1}{2}kx^{2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{k}{m}\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr)}.
Aqui eu defini cada variável: m massa, k constante elástica, A amplitude, x deslocamento, v velocidade.

Passo 3

Calcular a energia total do sistema usando \displaystyle E=\tfrac{1}{2}kA^{2}.
Colocando os números (tudo em SI, cuidado com vírgulas):
E=\tfrac{1}{2}\cdot 35,0\cdot (0,0400)^{2}.
Primeiro calcule A^{2}:
(0,0400)^{2}=0,001600.
Depois
35,0\cdot 0,001600 = 0,0560.
Finalmente
E=\tfrac{1}{2}\cdot 0,0560 = 0,0280\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a energia total disponível para trocar entre K e U durante a oscilação é \;0,0280\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Velocidade quando o deslocamento é x_1=0,0100\\ \mathrm{m}.
Usamos a fórmula deduzida:
v=\sqrt{\frac{k}{m}\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr)}.
Calcule \displaystyle \frac{k}{m}:
\frac{k}{m}=\frac{35,0}{0,0500}=700\\ \mathrm{s^{-2}}.
Calcule A^{2}-x_{1}^{2}:
A^{2}-x_{1}^{2}=0,001600-0,000100=0,001500.
Multiplicando:
\frac{k}{m}\bigl(A^{2}-x_{1}^{2}\bigr)=700\cdot 0,001500=1,05.
Logo
v=\sqrt{1,05}=1,024695\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de acordo com os algarismos significativos dos dados (três algarismos significativos), temos
v=1,02\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Energia cinética quando x_2=0,0300\\ \mathrm{m}.
Usamos K=E-U(x) com U(x)=\tfrac{1}{2}kx^{2}.
Calcule U(x_2):
U(x_{2})=\tfrac{1}{2}\cdot 35,0\cdot (0,0300)^{2}.
Compute (0,0300)^{2}=0,000900.
35,0\cdot 0,000900 = 0,0315.
U(x_{2})=\tfrac{1}{2}\cdot 0,0315=0,01575\\ \mathrm{J}.
Agora a energia cinética:
K=E-U(x_{2})=0,0280-0,01575=0,01225\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
K=0,0123\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Energia potencial quando x_2=0,0300\\ \mathrm{m} (já calculada no passo anterior, só organizar e arredondar).
Temos
U(x_{2})=0,01575\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
U(x_{2})=0,0158\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) E=0,0280\\ \mathrm{J}
(b) v=1,02\\ \mathrm{m/s} (em x=1,00\\ \mathrm{cm})
(c) K=0,0123\\ \mathrm{J} (em x=3,00\\ \mathrm{cm})
(d) U=0,0158\\ \mathrm{J} (em x=3,00\\ \mathrm{cm})

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