Com que velocidade um objeto se chocaria com o asteroide se fosse liberado sem velocidade inicial a 100 km acima da superfície?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Com que velocidade um objeto se chocaria com o asteroide se fosse liberado sem velocidade inicial a 100 km acima da superfície?”
Conteúdo: Gravitação e conservação de energia.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Gravitação e conservação de energia.
O que vamos precisar:
- Constante de gravitação universal
. - Massa do asteroide
e raio do asteroide . - A ideia de energia potencial gravitacional e energia cinética.
Passo 2
Energia potencial gravitacional de um objeto de massa
a uma distância
do centro do asteroide é
Quanto mais longe do centro, menos negativa é essa energia (ou seja, mais “alto” estamos no poço gravitacional).
Passo 3
Conservação de energia mecânica: energia total no ponto inicial (distância
) é igual à energia total no ponto final (distância
), pois desprezamos atrito e outras forças. Então:
onde
(foi solto sem velocidade) e
. Logo
Passo 4
Agora a gente isola a velocidade
. Primeiro cancelamos
em todos os termos e passamos o termo da energia potencial final para o lado esquerdo:
[
\frac12,v^2
\frac{G M}{R} - \frac{G M}{R + 100,km}
G M!\biggl(\frac1R - \frac1{R+100,km}\biggr).
]
Multiplicando por 2 e extraindo a raiz:
[
v
\sqrt{2,G,M\Bigl(\tfrac1R - \tfrac1{R+100,km}\Bigr)}.
]
]
Resposta
Esse é o valor da velocidade de impacto em função da massa
e do raio
do asteroide.