Com que velocidade um objeto se chocaria com o asteroide se fosse liberado sem velocidade inicial a 100 km acima da superfície?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Com que velocidade um objeto se chocaria com o asteroide se fosse liberado sem velocidade inicial a 100 km acima da superfície?”
Conteúdo: Gravitação e conservação de energia.
O que vamos precisar:
  1. Constante de gravitação universal .
  2. Massa do asteroide e raio do asteroide .
  3. A ideia de energia potencial gravitacional e energia cinética.

Passo 2

Energia potencial gravitacional de um objeto de massa U(r) = -,G,M,mr, a uma distância do centro do asteroide é
Quanto mais longe do centro, menos negativa é essa energia (ou seja, mais “alto” estamos no poço gravitacional).

Passo 3

Conservação de energia mecânica: energia total no ponto inicial (distância Ei = U(R+100,km) + Ki e Ef = U(R) + Kf, ) é igual à energia total no ponto final (distância -,G M mR+100,km + 0 ;=; -,G M mR + 12,m,v^2 ), pois desprezamos atrito e outras forças. Então:
onde (foi solto sem velocidade) e . Logo

Passo 4

Agora a gente isola a velocidade 12,v^2 = G MR - G MR + 100,km = G M!gl(1R - 1R+100,kmgr) . Primeiro cancelamos v = raiz2,G,Ml(tfrac1R - tfrac1R+100,kmr) em todos os termos e passamos o termo da energia potencial final para o lado esquerdo:
[
\frac12,v^2

\frac{G M}{R} - \frac{G M}{R + 100,km}

G M!\biggl(\frac1R - \frac1{R+100,km}\biggr).
]
Multiplicando por 2 e extraindo a raiz:
[
v

\sqrt{2,G,M\Bigl(\tfrac1R - \tfrac1{R+100,km}\Bigr)}.
]

Resposta

boxedv = raiz2,G,Ml(tfrac1R - tfrac1R+100,kmr)
Esse é o valor da velocidade de impacto em função da massa e do raio do asteroide.

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