Ex. 1.23: O pino
descreve uma trajetória plana determinada pelos movimentos das guias ranhuradas
e
. No instante considerado,
tem velocidade de
para direita, estando esta velocidade aumentando à razão de
. Ao mesmo tempo
tem velocidade de
para cima, diminuindo à taxa de
. Para o instante considerado, pede-se: a) o módulo e a direção da velocidade de
; b) o módulo e a direção da aceleração de
; c) o raio de curvatura da trajetória de
. Respostas: a)
; b)
;
c)
c)
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um pino $ P $ que se move em um plano, e esse movimento é controlado pelas guias $ A $ e $ B $. No momento que estamos considerando:
- A guia $ A $ está se movendo para a direita com uma velocidade de $ 20 , cm/s $ e essa velocidade está aumentando a uma taxa de $ 50 , cm/s^2 $ (aceleração).
- A guia $ B $ está se movendo para cima com uma velocidade de $ 30 , cm/s $, mas essa velocidade está diminuindo a uma taxa de $ 15 , cm/s^2 $ (aceleração negativa).
O que precisamos encontrar:
a) A velocidade de $ P $ (magnitude e direção).
b) A aceleração de $ P $ (magnitude e direção).
c) O raio de curvatura da trajetória de $ P $.
a) A velocidade de $ P $ (magnitude e direção).
b) A aceleração de $ P $ (magnitude e direção).
c) O raio de curvatura da trajetória de $ P $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores de velocidade e aceleração, além de algumas fórmulas de cinemática.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a velocidade do pino $ P $. A velocidade de $ P $ é a soma vetorial das velocidades das guias $ A $ e $ B $.
A velocidade de $ A $ é $ \vec{v}_A = 20 , cm/s $ para a direita.
A velocidade de $ B $ é $ \vec{v}_B = 30 , cm/s $ para cima.
A velocidade de $ B $ é $ \vec{v}_B = 30 , cm/s $ para cima.
Para encontrar a velocidade resultante $ \vec{v}_P $, usamos a fórmula da soma vetorial:
Como as direções são perpendiculares (direita e cima), podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a magnitude:
Para encontrar a direção $ \theta_v $, usamos a tangente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração do pino $ P $. A aceleração de $ P $ também é a soma vetorial das acelerações das guias $ A $ e $ B $.
A aceleração de $ A $ é $ \vec{a}_A = 50 , cm/s^2 $ para a direita.
A aceleração de $ B $ é $ \vec{a}_B = -15 , cm/s^2 $ para cima (já que está diminuindo).
A aceleração de $ B $ é $ \vec{a}_B = -15 , cm/s^2 $ para cima (já que está diminuindo).
A aceleração resultante $ \vec{a}_P $ é:
Novamente, como as direções são perpendiculares:
A direção $ \theta_a $ é:
Como a aceleração em $ y $ é negativa, a direção fica abaixo do eixo $ x $, mas podemos considerar apenas o ângulo positivo para a resposta.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar o raio de curvatura $ \rho $ da trajetória de $ P $. O raio de curvatura está relacionado à velocidade e à aceleração centrípeta pela fórmula:
Onde $ a_c $ é a componente da aceleração que está na direção perpendicular à velocidade.
Assumindo que toda a aceleração $ \vec{a}_P $ está atuando como aceleração centrípeta (já que não há componente tangencial mencionada além do que já calculamos), temos:
Arredondando para duas casas decimais, temos $ \rho \approx 26,00 , cm $.
Resposta
a) $ v_{p} = 36,06 , cm/s, \theta_{v} = 56,31^{\circ} $;
b) $ a_{p} = 52,20 , cm/s^2, \theta_{a} = 16,70^{\circ} $;
c) $ \rho = 26,00 , cm $.
b) $ a_{p} = 52,20 , cm/s^2, \theta_{a} = 16,70^{\circ} $;
c) $ \rho = 26,00 , cm $.