Qual a velocidade da onda no fio para que ao vibrar em seu primeiro sobretom (
) produza uma nota de frequência
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a velocidade da onda num fio que, vibrando no seu primeiro sobretom (que é o segundo modo de vibração, ou seja,
), produz uma nota com frequência de
. A matéria aqui é ondas em cordas vibrantes, e para resolver isso, a gente vai precisar entender como a velocidade da onda está relacionada com a frequência e o número de modos de vibração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade da onda (
) numa corda está relacionada com a frequência (
) e o comprimento de onda (
) pela fórmula:
Passo 3
Agora, vamos pensar nos modos de vibração. Quando o fio vibra no
-ésimo modo (ou
-ésimo harmonico), o comprimento de onda está relacionado com o comprimento da corda (
) da seguinte maneira:
Aqui,
é o comprimento de onda no
-ésimo modo,
é o comprimento do fio e
é o número do modo.
Passo 4
Como queremos a velocidade da onda no primeiro sobretom, onde
, substituímos na fórmula do comprimento de onda:
Então, o comprimento de onda no primeiro sobretom é igual ao comprimento do fio.
Passo 5
Agora, voltando à fórmula da velocidade da onda:
Substituímos
por
(já que
):
Passo 6
No entanto, para encontrar uma expressão geral da velocidade da onda em termos de frequência e modo de vibração, podemos combinar as fórmulas anteriores. Já que
, substituímos na fórmula da velocidade:
Passo 7
Finalmente, isolando a velocidade da onda (
):
Resposta
A velocidade da onda no fio é dada por
Portanto, a velocidade da onda depende do comprimento do fio
e é igual a
.