A velocidade de uma partícula é dada por:
\mathrm{v}(\mathrm{t})=2 \mathrm{t}-\mathrm{t}^{2}, \quad \mathrm{t} \in[0,4] \mathrm{s}

Tarefas:

  1. Construa o gráfico v \times t.
  2. Determine a aceleração em função do tempo e construa o gráfico a \times t.
  3. Determine a posição em função do tempo (admitindo s(0)=0 ) e construa o gráfico s \times t.
  4. No gráfico \mathrm{v} \times \mathrm{t}, identifique os trechos de aceleração e desaceleração.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de uma partícula em função do tempo
v(t)=2t - t^{2},\quad t\in[0,4]\;\mathrm{s}
pede: (1) o gráfico v\times t, (2) a aceleração a(t) e seu gráfico, (3) a posição s(t) com s(0)=0 e seu gráfico, e (4) nos indicar no gráfico de v\times t onde há aceleração e desaceleração. Vamos usar cálculo diferencial (para a(t)=v'(t)) e cálculo integral (para s(t)=\int v(t)\,dt).

Passo 2

Para esboçar o gráfico de v(t)=2t - t^{2} note que é uma parábola que abre para baixo.
– Raízes em t=0 e t=2, pois
2t - t^{2}=t(2 - t)=0.
– Vértice em t=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{-2}=1, com v(1)=2\cdot1 -1^{2}=1.
– Em t=4, v(4)=8-16=-8.
Desenho qualitativo: começa em (0,0), sobe até (1,1), desce passando por (2,0) e atinge (4,-8).

Passo 3

A aceleração é a derivada de v(t):
a(t)=v'(t)=\frac{d}{dt}(2t - t^{2})=2 - 2t.
Este é um gráfico de reta com coeficiente angular -2 e intercepto a(0)=2. Em t=1 zera a(1)=0, em t=4, a(4)=2-8=-6.

Passo 4

A posição s(t) vem da integral de v(t) e da condição s(0)=0:
s(t)=\int_{0}^{t}(2\tau - \tau^{2})\,d\tau =\Bigl[\tau^{2}-\tfrac{\tau^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{t} =t^{2}-\tfrac{t^{3}}{3}.
No gráfico, é uma cúbica que cresce de t=0 até o extremo em t=2 (onde s'(2)=v(2)=0), atinge s(2)=4-\tfrac{8}{3}=\tfrac{4}{3}, e depois decresce até s(4)=16-\tfrac{64}{3}=-\tfrac{16}{3}.

Passo 5

Num gráfico v\times t, aceleração corresponde a v subindo a>0 e desaceleração a v descendo a<0. Como a(t)=2-2t:
– Para 0\le t<1, a(t)>0 v(t) sobe (aceleração).
– Para t>1, a(t)<0 v(t) desce (desaceleração).

Resposta

  1. v(t)=2t - t^{2}: parábola invertida com vértice em (1,1) e raízes em t=0,2.
  2. a(t)=2-2t: reta decrescente de a(0)=2 até a(4)=-6.
  3. s(t)=t^{2}-\tfrac{t^{3}}{3}: cúbica com máximo em t=2, s(2)=4/3.
  4. Em v\times t, acelera em 0\le t<1 e desacelera em 1<t\le4.

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