A aceleração da partícula depende da posição conforme:
a(s)=0.2 s, \quad s \in[0,10]

Tarefas:

  1. Construa o gráfico a \times s.
  2. A partir da relação a(s)=v(d v / d s), determine v(s), considerando v(0)=0.
  3. Determine o tempo em função da posição t(s).
  4. Construa os gráficos \mathrm{v} \times \mathrm{s}.
  5. Interprete fisicamente o que significa a aceleração crescer linearmente com a posição.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula que se move em uma dimensão de tal forma que sua aceleração depende da posição segundo
a(s)=0{,}2\,s,\quad s\in[0,10].
O conteúdo principal aqui é cinemática com aceleração não constante mas dada em função de s. Vamos usar duas relações chave:
a=v\,\dfrac{dv}{ds} (regra da cadeia em movimento unidimensional).
v=\dfrac{ds}{dt} para encontrar o tempo em função da posição.

Passo 2

Para construir o gráfico de a versus s, note que a fórmula é
a(s)=0{,}2\,s.
Isto é uma reta que passa pela origem (0,0) com inclinação 0{,}2. No intervalo 0\le s\le10, o ponto final é (10,\;2).

Passo 3

Usamos a relação
a=v\,\frac{dv}{ds}=0{,}2\,s.
Isto dá
v\,dv = 0{,}2\,s\,ds.
Integrando de s=0 (onde v=0) até uma posição genérica s, obtemos
\int_{0}^{v} v'\,dv' = 0{,}2\int_{0}^{s} s'\,ds' \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}v^{2} = 0{,}1\,s^{2}.
Como v(0)=0, o constante de integração é zero, então
v(s)=\sqrt{0{,}2}\;s.

Passo 4

Para achar o tempo t em função de s, escrevemos
dt = \frac{ds}{v(s)} = \frac{ds}{\sqrt{0{,}2}\;s}.
Integrando de uma posição inicial s_{0}>0 (para evitar singularidade em s=0) até s, com t(s_{0})=0:
t(s)=\frac{1}{\sqrt{0{,}2}}\int_{s_{0}}^{s}\frac{1}{s'}\,ds' =\frac{1}{\sqrt{0{,}2}}\ln\!\biggl(\frac{s}{s_{0}}\biggr).
Note que se tentássemos usar s_{0}=0 teríamos divergência no logaritmo, mostrando que o movimento “parte” de s=0 apenas em tempo infinito.

Passo 5

O gráfico de v versus s vem de
v(s)=\sqrt{0{,}2}\;s,
ou seja, outra reta passando pela origem, agora com inclinação \sqrt{0{,}2}\approx0{,}447.

Passo 6

Fisicamente, dizer que a cresce linearmente com s significa que, quanto mais longe a partícula está da origem, maior é a aceleração que ela sofre. Em termos de força (se m for constante),
F = m\,a = m\,(0{,}2\,s)\propto s,
ou seja, força proporcional ao deslocamento, semelhante à lei de Hooke, mas sem o sinal negativo: aqui a partícula é “empurrada” cada vez mais rápido para longe da origem, gerando um movimento de afastamento que cresce exponencialmente em s(t).

Resposta

  1. Gráfico de a vs.\ s: reta de inclinação 0,2 passando por (0,0) até (10,2).
  2. v(s)=\sqrt{0,2}\;s.
  3. t(s)=\dfrac{1}{\sqrt{0,2}}\ln\!\bigl(s/s_{0}\bigr) (diverge para s_{0}\to0).
  4. Gráfico de v vs.\ s: reta de inclinação \sqrt{0,2} passando por (0,0).
  5. Aceleração proporcional à posição indica força que aumenta com o deslocamento, impulsionando a partícula cada vez mais rápido para longe da origem.

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