A aceleração da partícula depende da posição conforme:
Tarefas:
- Construa o gráfico
.
- A partir da relação
, determine
, considerando
.
- Determine o tempo em função da posição
.
- Construa os gráficos
.
- Interprete fisicamente o que significa a aceleração crescer linearmente com a posição.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula que se move em uma dimensão de tal forma que sua aceleração depende da posição segundo
O conteúdo principal aqui é cinemática com aceleração não constante mas dada em função de
. Vamos usar duas relações chave:
– (regra da cadeia em movimento unidimensional).
– para encontrar o tempo em função da posição.
–
–
Passo 2
Para construir o gráfico de
versus
, note que a fórmula é
Isto é uma reta que passa pela origem
com inclinação
. No intervalo
, o ponto final é
.
Passo 3
Usamos a relação
Isto dá
Integrando de
(onde
) até uma posição genérica
, obtemos
Como
, o constante de integração é zero, então
Passo 4
Para achar o tempo
em função de
, escrevemos
Integrando de uma posição inicial
(para evitar singularidade em
) até
, com
:
Note que se tentássemos usar
teríamos divergência no logaritmo, mostrando que o movimento “parte” de
apenas em tempo infinito.
Passo 5
O gráfico de
versus
vem de
ou seja, outra reta passando pela origem, agora com inclinação
.
Passo 6
Fisicamente, dizer que
cresce linearmente com
significa que, quanto mais longe a partícula está da origem, maior é a aceleração que ela sofre. Em termos de força (se
for constante),
ou seja, força proporcional ao deslocamento, semelhante à lei de Hooke, mas sem o sinal negativo: aqui a partícula é “empurrada” cada vez mais rápido para longe da origem, gerando um movimento de afastamento que cresce exponencialmente em
.
Resposta
- Gráfico de
vs.\ : reta de inclinação passando por até . -
. -
(diverge para ). - Gráfico de
vs.\ : reta de inclinação passando por . - Aceleração proporcional à posição indica força que aumenta com o deslocamento, impulsionando a partícula cada vez mais rápido para longe da origem.