A velocidade de uma partícula de massa igual a 2,0 kg que parte da origem no instante inicial t=0 e se move no plano xy é dada por v=(8,0 t-4,0 t^2) imath+(2,0 t^2-4 t) jmath, com a velocidade em m / s e o tempo em segundos.
(1 , 0 ) A posição da partícula no instante em que o vetor aceleração é nulo, se isso for possível.
i) Verifique se o vetor aceleração pode ser nulo
ii) Determine a posição ( se possível)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a velocidade de uma partícula em movimento no plano xy. A gente quer descobrir a posição dessa partícula no momento em que a aceleração dela é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento. Primeiro, vamos achar a aceleração da partícula e ver quando ela é nula. Depois, se der certo, vamos calcular a posição nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Para isso, a gente deriva as componentes da velocidade em relação ao tempo $ t $.
A velocidade da partícula é dada por:
t
Derivando cada componente:
v = (8,0 t - 4,0 t^2) imath + (2,0 t^2 - 4 t) jmath
ax = ddt(8,0 t - 4,0 t^2) = 8,0 - 8,0 t
Então, o vetor aceleração é:
ay = ddt(2,0 t^2 - 4 t) = 4,0 t - 4

Passo 3

Agora, vamos verificar quando a aceleração é nula, ou seja, quando $ \vec{a} = \vec{0} $.
Isso significa que:
a = 0
Resolvendo a primeira equação:
8,0 - 8,0 t = 0 e 4,0 t - 4 = 0
Resolvendo a segunda equação:
8,0 - 8,0 t = 0 implies 8,0 t = 8,0 implies t = 1 segundo
Como ambas as equações dão $ t = 1 $ segundo, a aceleração é nula nesse instante.

Passo 4

Agora que sabemos que a aceleração é nula em $ t = 1 $ segundo, vamos encontrar a posição da partícula nesse momento. Para isso, vamos integrar as funções de velocidade em relação ao tempo.
A posição $ \vec{r} $ é a integral da velocidade:
t = 1
Como a partícula parte da origem, $ \vec{r}_0 = \vec{0} $.
Integrando cada componente da velocidade:
Para $ x(t) $:
r
r(t) = integral v(t) , dt + r0
Como $ x(0) = 0 $, $ C = 0 $:
r0 = 0
Para $ y(t) $:
x(t)
vx(t) = 8,0 t - 4,0 t^2
Como $ y(0) = 0 $, $ D = 0 $:
x(t) = integral (8,0 t - 4,0 t^2) , dt = 4,0 t^2 - 4,03 t^3 + C
Agora, substituindo $ t = 1 $ segundo:
x(0) = 0
C = 0

Resposta

A posição da partícula no instante em que a aceleração é nula é aproximadamente $ (2,67 , m,\ -1,33 , m) $.

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