A velocidade de uma partícula de massa igual a
que parte da origem no instante inicial
se move no plano xy é dada por
, com a velocidade em
e o tempo em segundos.
) A posição da partícula no instante em que o vetor aceleração é nulo, se isso for possível.
i) Verifique se o vetor aceleração pode ser nulo
ii) Determine a posição ( se possível)
i) Verifique se o vetor aceleração pode ser nulo
ii) Determine a posição ( se possível)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a velocidade de uma partícula em movimento no plano xy. A gente quer descobrir a posição dessa partícula no momento em que a aceleração dela é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento. Primeiro, vamos achar a aceleração da partícula e ver quando ela é nula. Depois, se der certo, vamos calcular a posição nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Para isso, a gente deriva as componentes da velocidade em relação ao tempo $ t $.
A velocidade da partícula é dada por:
Derivando cada componente:
Então, o vetor aceleração é:
Passo 3
Agora, vamos verificar quando a aceleração é nula, ou seja, quando $ \vec{a} = \vec{0} $.
Isso significa que:
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Como ambas as equações dão $ t = 1 $ segundo, a aceleração é nula nesse instante.
Passo 4
Agora que sabemos que a aceleração é nula em $ t = 1 $ segundo, vamos encontrar a posição da partícula nesse momento. Para isso, vamos integrar as funções de velocidade em relação ao tempo.
A posição $ \vec{r} $ é a integral da velocidade:
Como a partícula parte da origem, $ \vec{r}_0 = \vec{0} $.
Integrando cada componente da velocidade:
Para $ x(t) $:
Como $ x(0) = 0 $, $ C = 0 $:
Para $ y(t) $:
Como $ y(0) = 0 $, $ D = 0 $:
Agora, substituindo $ t = 1 $ segundo:
Resposta
A posição da partícula no instante em que a aceleração é nula é aproximadamente $ (2,67 , m,\ -1,33 , m) $.