A velocidade de uma bicicleta é dada pela equação
onde
.
Faça os gráficos de velocidade e aceleração em função do tempo para o movimento da bicicleta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da velocidade de uma bicicleta em função do tempo: $ v(t) = \alpha t + \beta t^{2} $, onde $ \alpha = 2,0 , \mathrm{m/s^{2}} $ e $ \beta = 1,0 , \mathrm{m/s^{3}} $. O que precisamos fazer é desenhar os gráficos dessas funções de velocidade e aceleração conforme o tempo passa. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente sobre como derivar a aceleração a partir da velocidade e como representar essas funções graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da velocidade com os valores de $ \alpha $ e $ \beta $ substituídos:
Isso nos mostra que a velocidade depende tanto do tempo $ t $ quanto do quadrado do tempo.
Passo 3
Agora, para achar a aceleração, que é a variação da velocidade ao longo do tempo, vamos derivar a função de velocidade $ v(t) $ em relação ao tempo $ t $. A aceleração $ a(t) $ é dada por:
Passo 4
Vamos fazer essa derivada:
Derivando termo a termo:
- A derivada de $ 2,0 , t $ em relação a $ t $ é $ 2,0 $.
- A derivada de $ 1,0 , t^{2} $ em relação a $ t $ é $ 2,0 , t $.
Então:
Passo 5
Agora temos as duas funções que vamos plotar:
- Velocidade: $ v(t) = 2,0 , t + 1,0 , t^{2} $
- Aceleração: $ a(t) = 2,0 + 2,0 , t $
Vamos entender como cada uma se comporta com o tempo.
Passo 6
Vamos começar desenhando o gráfico da velocidade $ v(t) $. Essa é uma equação quadrática devido ao termo $ t^{2} $, o que significa que o gráfico será uma parábola. Como o coeficiente de $ t^{2} $ é positivo ($ 1,0 $), a parábola abre para cima, indicando que a velocidade aumenta de forma acelerada à medida que o tempo passa.
Passo 7
Agora, vamos para o gráfico da aceleração $ a(t) $. Essa é uma equação linear porque tem apenas $ t $ na primeira potência. O coeficiente de $ t $ é positivo ($ 2,0 $), então a reta vai subindo à medida que o tempo aumenta. Isso mostra que a aceleração também está aumentando com o tempo.
Resposta
Os gráficos resultantes são:
-
Gráfico da Velocidade: Uma parábola que começa no ponto de origem (quando $ t = 0 $, $ v(0) = 0 $) e sobe de forma acelerada conforme o tempo aumenta, seguindo a equação $ v(t) = 2,0 , t + 1,0 , t^{2} $.
-
Gráfico da Aceleração: Uma linha reta que começa em $ a(0) = 2,0 , \mathrm{m/s^{2}} $ e sobe de maneira constante conforme o tempo avança, de acordo com a equação $ a(t) = 2,0 + 2,0 , t $.
Esses gráficos mostram como tanto a velocidade quanto a aceleração da bicicleta aumentam com o tempo, sendo a velocidade uma função quadrática e a aceleração uma função linear.