A velocidade de uma partícula é v=5 t+1, com t em segundos e v em \mathrm{m} / \mathrm{s}. Sabendo que a partícula parte da origem, calcule:
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO “.”, não utilize a vírgula!
A posição da partícula para \mathrm{t}=30 \mathrm{~s}.

Passo 1

Dados do enunciado:
v(t)=5t+1
com t em segundos e v em \mathrm{m/s}. A partícula parte da origem, ou seja,
x(0)=0.
O que o enunciado pede: calcular a posição da partícula no instante t=30\\ \mathrm{s}; isto é, encontrar x(30).

Passo 2

Relação fundamental entre posição e velocidade (explicação didática):
a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em fórmulas:
v(t)=\frac{dx}{dt}=x'(t).
Isso significa que, se conhecemos v(t), podemos recuperar x(t) integrando v(t) em relação ao tempo. Pense na integral como a “área sob a curva” v(t): essa área acumulada desde o tempo inicial dá o deslocamento.

Passo 3

Fórmula para obter a posição a partir da velocidade:
x(t)=x(0)+\int_{0}^{t} v(s)\,ds,
onde usei s como variável de integração para não confundir com o limite t. Aqui x(0) é a posição inicial (no nosso caso 0).

Passo 4

Aplicando a fórmula com v(s)=5s+1 e x(0)=0:
x(30)=0+\int_{0}^{30} (5s+1)\,ds=\int_{0}^{30} (5s+1)\,ds.

Passo 5

Integramos a função termo a termo (aqui uma mini-aula de integração):
  • A integral de s é \frac{1}{2}s^{2} porque ao derivar \frac{1}{2}s^{2} volta-se a s.
  • A integral de uma constante 1 é s.
    Portanto,
\int (5s+1)\,ds = 5\int s\,ds + \int 1\,ds = 5\cdot\frac{1}{2}s^{2} + s = \frac{5}{2}s^{2}+s + C,
onde C é a constante de integração (não precisamos dela para integral definida).

Passo 6

Avaliando a integral definida de 0 a 30:
x(30)=\left[\frac{5}{2}s^{2}+s\right]_{0}^{30}=\left(\frac{5}{2}\cdot 30^{2}+30\right)-\left(\frac{5}{2}\cdot 0^{2}+0\right).
Calcule passo a passo:
30^{2}=900,
\frac{5}{2}\cdot 900=\frac{5\cdot 900}{2}=5\cdot 450=2250,
2250+30=2280.

Passo 7

Conclusão e interpretação:
a posição da partícula no instante t=30\\ \mathrm{s} é x(30)=2280\\ \mathrm{m}. Isso significa que, partindo da origem, ela percorreu 2280 metros até 30 segundos.

Resposta

2280\\ \mathrm{m}

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