Qual a velocidade em termos de
entre o sistema em movimento e o sistema relativístico para que a massa medida em um sistema em repouso seja a metade da MASSA medida em um sistema em movimento?
Passo 1
Enunciado que vamos resolver (reformulado de forma curta): encontrar a velocidade entre dois sistemas, expressa em termos de
, tal que a massa medida no sistema em repouso seja a metade da massa medida no sistema em movimento.\n
Informações dadas e objetivo:
Informações dadas e objetivo:
- Denotaremos a massa medida no sistema em repouso por
. - Denotaremos a massa medida no sistema em movimento por
. - A condição dada é
é a metade de , isto é . - Queremos achar a velocidade
(em função de ) que torna essa igualdade verdadeira.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
- Em relatividade (usando o conceito de “massa relativística”), a massa medida por um observador quando o objeto se move com velocidade
é dada por
onde:
-
é a massa medida no referencial onde o objeto está em movimento, -
é a massa de repouso (a massa medida no próprio referencial do objeto), -
é o fator de Lorentz, que diz quanto as quantidades relativísticas são ampliadas com a velocidade. - O fator de Lorentz é
onde:
-
é a velocidade relativa entre os referenciais, -
é a velocidade da luz no vácuo.
Explicando em palavras: conformese aproxima de , cresce muito, e assim a massa relativística (que é ) aumenta. Para velocidades pequenas ( ), e .
Passo 3
Traduzindo a condição do enunciado em equação usando a fórmula acima:
A condição é . Substituindo
obtemos
A condição é
Como
é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por
para simplificar:
Multiplicando ambos os lados por
segue que
Passo 4
Agora resolvemos
para
. Lembrando que
, escrevemos
Invertemos ambos os lados:
Elevando ao quadrado:
Isolando
:
Tomando raiz quadrada (escolhemos o sinal positivo porque
é uma velocidade positiva em magnitude):
Passo 5
Interpretação numérica e checagem rápida:
- Numericamente
. Usando vírgula conforme pedido: aproximadamente . - Verificação: para
temos , então . Logo é mesmo a metade de , conforme pedido — tudo consistente.\n
Comentário útil para a prova: rapidamente você pode escrever os passos essenciais assim — usar, impor , obter e então resolver para . É curto e seguro.