Qual a velocidade em termos de c entre o sistema em movimento e o sistema relativístico para que a massa medida em um sistema em repouso seja a metade da MASSA medida em um sistema em movimento?

Passo 1

Enunciado que vamos resolver (reformulado de forma curta): encontrar a velocidade entre dois sistemas, expressa em termos de c, tal que a massa medida no sistema em repouso seja a metade da massa medida no sistema em movimento.\n
Informações dadas e objetivo:
  • Denotaremos a massa medida no sistema em repouso por m_0.
  • Denotaremos a massa medida no sistema em movimento por m.
  • A condição dada é m_0 é a metade de m, isto é m_0 = \tfrac{1}{2}m.
  • Queremos achar a velocidade v (em função de c) que torna essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Em relatividade (usando o conceito de “massa relativística”), a massa medida por um observador quando o objeto se move com velocidade v é dada por
m = \gamma\, m_0,
onde:
  • m é a massa medida no referencial onde o objeto está em movimento,
  • m_0 é a massa de repouso (a massa medida no próprio referencial do objeto),
  • \gamma é o fator de Lorentz, que diz quanto as quantidades relativísticas são ampliadas com a velocidade.
  • O fator de Lorentz é
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}},
onde:
  • v é a velocidade relativa entre os referenciais,
  • c é a velocidade da luz no vácuo.
    Explicando em palavras: conforme v se aproxima de c, \gamma cresce muito, e assim a massa relativística m (que é \gamma m_0) aumenta. Para velocidades pequenas ( v\ll c), \gamma\approx1 e m\approx m_0.

Passo 3

Traduzindo a condição do enunciado em equação usando a fórmula acima:
A condição é m_0 = \tfrac{1}{2}m. Substituindo m=\gamma m_0 obtemos
m_0 = \tfrac{1}{2}\,\gamma m_0.
Como m_0 é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por m_0 para simplificar:
1 = \tfrac{1}{2}\,\gamma.
Multiplicando ambos os lados por 2 segue que
\gamma = 2.

Passo 4

Agora resolvemos \gamma = 2 para v. Lembrando que \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}, escrevemos
\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} = 2.
Invertemos ambos os lados:
\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}} = \tfrac{1}{2}.
Elevando ao quadrado:
1-\dfrac{v^2}{c^2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4}.
Isolando \dfrac{v^2}{c^2}:
\dfrac{v^2}{c^2} = 1 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.
Tomando raiz quadrada (escolhemos o sinal positivo porque v é uma velocidade positiva em magnitude):
\dfrac{v}{c} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Interpretação numérica e checagem rápida:
  • Numericamente \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254. Usando vírgula conforme pedido: aproximadamente 0,866.
  • Verificação: para v=\tfrac{\sqrt{3}}{2}c temos \gamma=2, então m=\gamma m_0=2m_0. Logo m_0 é mesmo a metade de m, conforme pedido — tudo consistente.\n
    Comentário útil para a prova: rapidamente você pode escrever os passos essenciais assim — usar m=\gamma m_0, impor m_0=\tfrac{1}{2}m, obter \gamma=2 e então resolver \gamma para v. É curto e seguro.

Resposta

\dfrac{v}{c}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866

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