Explique a dilatação do espaço na Teoria da Relatividade Especial e mostre que a dilatação do tempo é dada por:
l=l_{0} \sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas (vou colocar exatamente o que você escreveu): explicar a dilatação do espaço na Teoria da Relatividade Especial e mostrar que a dilatação do tempo é dada por
l=l_{0} \sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}
Informações dadas/implícitas que vamos usar: há um comprimento de referência l_{0} (o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso), há uma velocidade relativa u entre referenciais e c é a velocidade da luz. Observação importante (para não confundir): a fórmula fornecida é justamente a fórmula conhecida como contração de comprimentos (ou contração longitudinal) — ou seja, relaciona o comprimento l medido num referencial onde o corpo se move com velocidade u ao comprimento próprio l_{0}. A “dilatação do tempo” é outro efeito relacionado, cuja fórmula padrão é diferente (vou mostrar também). A resolução começará no próximo passo.

Passo 2

Vou fixar o cenário e as convenções (isso evita confusão depois). Considere dois referenciais inerciais S e S'. O referencial S' move-se com velocidade u relativa a S ao longo do eixo x (velocidade positiva na direção +x). Em termos práticos:
  • S' é o referencial em que o corpo (uma barra, por exemplo) está em repouso.
  • l_{0} é o comprimento próprio da barra, isto é, o comprimento medido em S' (barra imóvel).
  • l é o comprimento medido em S (onde a barra se move com velocidade u).
    Também introduzimos o fator de Lorentz
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}.
Explicação curta do que é \gamma: é um número maior ou igual a 1 que aparece quando relacionamos coordenadas espaço-tempo entre referenciais em movimento relativo; para u pequeno comparado a c, \gamma\approx1, e quando u se aproxima de c, \gamma cresce muito.

Passo 3

Regra prática importante para medir comprimento: para medir o comprimento de um objeto no referencial S é necessário determinar as posições dos dois extremos da barra no mesmo instante de S. Isso significa que, se eu quero o comprimento l em S, devo anotar as coordenadas x_{1} e x_{2} dos extremos em um mesmo tempo t (isto é, t_{1}=t_{2}\equiv t em S). A razão é que, se os tempos forem diferentes, a barra move-se entre as medições e a diferença das posições não corresponde ao comprimento instantâneo.
Agora, contraste isso com a medição do comprimento próprio l_{0}: em S' a barra está em repouso, logo seus extremos têm coordenadas fixas x'_{1} e x'_{2} e l_{0}=x'_{2}-x'_{1} obtido medindo-se em qualquer instante t' (não importa qual) porque a barra não se move em S'.

Passo 4

Para relacionar posições medidas em S com posições em S' usamos as transformações de Lorentz. Vou escrever as transformações na forma que dá x e t em função de x' e t' (útil porque estamos imaginando a barra em repouso em S'):
x=\gamma\left(x'+u\,t'\right),
t=\gamma\left(t'+\frac{u\,x'}{c^{2}}\right).
Aqui:
  • x,t são coordenadas do evento no referencial S.
  • x',t' são coordenadas do mesmo evento no referencial S'.
  • u é a velocidade de S' em relação a S (convenção usada).
    Essas equações dizem como um mesmo ponto evento no espaço-tempo é descrito nos dois referenciais.

Passo 5

Agora vou construir os dois eventos que representam a medição do comprimento l em S. Em S medimos os extremos num mesmo instante t. Então considere:
  • Evento A: posição do extremo traseiro medida em S — coordenadas (x_{1},t).
  • Evento B: posição do extremo dianteiro medida em S — coordenadas (x_{2},t).
    Note que t é o mesmo para os dois eventos (medição simultânea em S). Queremos l=x_{2}-x_{1}.
Aplicamos a transformação inversa (a que escrevemos no Passo 4) para achar as coordenadas desses mesmos eventos em S'. Usando a fórmula para x' em termos de x e t (essa é a forma direta que também é comumente utilizada):
x'=\gamma\left(x-u\,t\right).
(essa expressão é a inversa das equações do Passo 4; dá a coordenada x' do evento sabendo x,t em S). Então, para os dois eventos (A e B) temos:
x'_{1}=\gamma\left(x_{1}-u\,t\right),
x'_{2}=\gamma\left(x_{2}-u\,t\right).

Passo 6

Subtraindo as duas expressões encontramos a separação entre os extremos na descrição em S':
x'_{2}-x'_{1}=\gamma\left(x_{2}-u\,t\right)-\gamma\left(x_{1}-u\,t\right)=\gamma\left(x_{2}-x_{1}\right).
Mas x'_{2}-x'_{1} é justamente o comprimento próprio l_{0}, pois em S' a barra está em repouso e suas posições dos extremos são fixas. Portanto:
l_{0}=\gamma\left(x_{2}-x_{1}\right)=\gamma\,l.
Isolando l obtemos
l=\frac{l_{0}}{\gamma}=l_{0}\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}.
Pronto: essa é a fórmula da contração de comprimentos (às vezes chamada de “dilatação do espaço” pelo enunciado, mas tecnicamente é uma contração do comprimento ao longo da direção do movimento).

Passo 7

Interpretação física e observações importantes (para a prova e para a intuição):
  • O comprimento medido no referencial onde a barra se move é menor do que o comprimento próprio: l<l_{0}. A diferença aparece apenas na direção paralela ao movimento; medidas transversais não são afetadas.
  • Esse efeito é puramente relativo: quem está em S' (onde a barra está em repouso) não nota contração; quem vê a barra movendo-se em S mede o comprimento reduzido.
  • A razão dessa contração está ligada à necessidade de medir posições simultaneamente no referencial de observação e ao fato de que simultaneidade é relativa entre referenciais (a transformação de Lorentz mistura espaço e tempo).

Passo 8

Agora, só para completar seu entendimento (muito útil na prova): a dilatação do tempo é outro efeito lógicamente relacionado às mesmas transformações de Lorentz. Uma maneira clássica e simples de derivar a dilatação do tempo é usar um relógio de luz perpendicular ao movimento (relógio de luz = um pulso que vai até um espelho e volta). Resumo da derivação (essencial):
  • No referencial do relógio o tempo entre dois “tic” é o tempo próprio t_{0}, e a luz percorre ida e volta uma distância 2d em tempo t_{0} com c t_{0}=2d.
  • Para um observador que vê o relógio movendo-se com velocidade u lateralmente, o pulso de luz descreve um triângulo (hipotenusa) e percorre um caminho maior; pela geometria (Pitagoras) obtemos
\left(\frac{c t}{2}\right)^{2}=\left(\frac{u t}{2}\right)^{2}+\left(\frac{c t_{0}}{2}\right)^{2},
onde t é o intervalo medido pelo observador que vê o relógio em movimento. Resolvendo essa equação para t surge
t=\gamma\,t_{0}=\frac{t_{0}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}.
Isto é a fórmula da dilatação do tempo: o intervalo entre dois eventos que acontecem no mesmo lugar no referencial do relógio (tempo próprio t_{0}) aparece aumentado ( t>t_{0}) quando medido por um observador para quem o relógio está se movendo.

Passo 9

Resumo final didático (como usar isso numa prova):
  • Quando pedirem comprimento de um objeto que se move com velocidade u, lembre-se: meça as posições dos extremos simultaneamente no referencial do observador; aplique a relação
l=l_{0}\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}.
  • Quando pedirem quanto tempo um intervalo demora para um observador que vê um relógio em movimento: use
t=\frac{t_{0}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}.
  • Anote sempre o que é “próprio” (comprimento próprio ou tempo próprio): comprimento próprio é medido no referencial da barra; tempo próprio é medido no referencial onde os dois eventos ocorrem no mesmo ponto. Esses cuidados evitam erros em prova.

Resposta

l=l_{0} \sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}
t=\dfrac{t_{0}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}

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