Explique a dilatação do espaço na Teoria da Relatividade Especial e mostre que a dilatação do tempo é dada por:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas (vou colocar exatamente o que você escreveu): explicar a dilatação do espaço na Teoria da Relatividade Especial e mostrar que a dilatação do tempo é dada por
Informações dadas/implícitas que vamos usar: há um comprimento de referência
(o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso), há uma velocidade relativa
entre referenciais e
é a velocidade da luz. Observação importante (para não confundir): a fórmula fornecida é justamente a fórmula conhecida como contração de comprimentos (ou contração longitudinal) — ou seja, relaciona o comprimento
medido num referencial onde o corpo se move com velocidade
ao comprimento próprio
. A “dilatação do tempo” é outro efeito relacionado, cuja fórmula padrão é diferente (vou mostrar também). A resolução começará no próximo passo.
Passo 2
Vou fixar o cenário e as convenções (isso evita confusão depois). Considere dois referenciais inerciais
e
. O referencial
move-se com velocidade
relativa a
ao longo do eixo
(velocidade positiva na direção
). Em termos práticos:
-
é o referencial em que o corpo (uma barra, por exemplo) está em repouso. -
é o comprimento próprio da barra, isto é, o comprimento medido em (barra imóvel). -
é o comprimento medido em (onde a barra se move com velocidade ).
Também introduzimos o fator de Lorentz
Explicação curta do que é
: é um número maior ou igual a
que aparece quando relacionamos coordenadas espaço-tempo entre referenciais em movimento relativo; para
pequeno comparado a
,
, e quando
se aproxima de
,
cresce muito.
Passo 3
Regra prática importante para medir comprimento: para medir o comprimento de um objeto no referencial
é necessário determinar as posições dos dois extremos da barra no mesmo instante de
. Isso significa que, se eu quero o comprimento
em
, devo anotar as coordenadas
e
dos extremos em um mesmo tempo
(isto é,
em
). A razão é que, se os tempos forem diferentes, a barra move-se entre as medições e a diferença das posições não corresponde ao comprimento instantâneo.
Agora, contraste isso com a medição do comprimento próprio
: em
a barra está em repouso, logo seus extremos têm coordenadas fixas
e
e
obtido medindo-se em qualquer instante
(não importa qual) porque a barra não se move em
.
Passo 4
Para relacionar posições medidas em
com posições em
usamos as transformações de Lorentz. Vou escrever as transformações na forma que dá
e
em função de
e
(útil porque estamos imaginando a barra em repouso em
):
Aqui:
-
são coordenadas do evento no referencial . -
são coordenadas do mesmo evento no referencial . -
é a velocidade de em relação a (convenção usada).
Essas equações dizem como um mesmo ponto evento no espaço-tempo é descrito nos dois referenciais.
Passo 5
Agora vou construir os dois eventos que representam a medição do comprimento
em
. Em
medimos os extremos num mesmo instante
. Então considere:
- Evento A: posição do extremo traseiro medida em
— coordenadas . - Evento B: posição do extremo dianteiro medida em
— coordenadas .
Note queé o mesmo para os dois eventos (medição simultânea em ). Queremos .
Aplicamos a transformação inversa (a que escrevemos no Passo 4) para achar as coordenadas desses mesmos eventos em
. Usando a fórmula para
em termos de
e
(essa é a forma direta que também é comumente utilizada):
(essa expressão é a inversa das equações do Passo 4; dá a coordenada
do evento sabendo
em
). Então, para os dois eventos (A e B) temos:
Passo 6
Subtraindo as duas expressões encontramos a separação entre os extremos na descrição em
:
Mas
é justamente o comprimento próprio
, pois em
a barra está em repouso e suas posições dos extremos são fixas. Portanto:
Isolando
obtemos
Pronto: essa é a fórmula da contração de comprimentos (às vezes chamada de “dilatação do espaço” pelo enunciado, mas tecnicamente é uma contração do comprimento ao longo da direção do movimento).
Passo 7
Interpretação física e observações importantes (para a prova e para a intuição):
- O comprimento medido no referencial onde a barra se move é menor do que o comprimento próprio:
. A diferença aparece apenas na direção paralela ao movimento; medidas transversais não são afetadas. - Esse efeito é puramente relativo: quem está em
(onde a barra está em repouso) não nota contração; quem vê a barra movendo-se em mede o comprimento reduzido. - A razão dessa contração está ligada à necessidade de medir posições simultaneamente no referencial de observação e ao fato de que simultaneidade é relativa entre referenciais (a transformação de Lorentz mistura espaço e tempo).
Passo 8
Agora, só para completar seu entendimento (muito útil na prova): a dilatação do tempo é outro efeito lógicamente relacionado às mesmas transformações de Lorentz. Uma maneira clássica e simples de derivar a dilatação do tempo é usar um relógio de luz perpendicular ao movimento (relógio de luz = um pulso que vai até um espelho e volta). Resumo da derivação (essencial):
- No referencial do relógio o tempo entre dois “tic” é o tempo próprio
, e a luz percorre ida e volta uma distância em tempo com . - Para um observador que vê o relógio movendo-se com velocidade
lateralmente, o pulso de luz descreve um triângulo (hipotenusa) e percorre um caminho maior; pela geometria (Pitagoras) obtemos
onde
é o intervalo medido pelo observador que vê o relógio em movimento. Resolvendo essa equação para
surge
Isto é a fórmula da dilatação do tempo: o intervalo entre dois eventos que acontecem no mesmo lugar no referencial do relógio (tempo próprio
) aparece aumentado (
) quando medido por um observador para quem o relógio está se movendo.
Passo 9
Resumo final didático (como usar isso numa prova):
- Quando pedirem comprimento de um objeto que se move com velocidade
, lembre-se: meça as posições dos extremos simultaneamente no referencial do observador; aplique a relação
- Quando pedirem quanto tempo um intervalo demora para um observador que vê um relógio em movimento: use
- Anote sempre o que é “próprio” (comprimento próprio ou tempo próprio): comprimento próprio é medido no referencial da barra; tempo próprio é medido no referencial onde os dois eventos ocorrem no mesmo ponto. Esses cuidados evitam erros em prova.