A velocidade \vec{v} de uma partícula que se move no plano x y é dada por \vec{v}=(6,0 t- \left.4,0 t^{2}\right) \hat{\imath}+8,00 \hat{\jmath}, com \vec{v} em metros por segundo e t (>0) em segundos.
Quando (se alguma vez) a aceleração é zero?

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado fornece a velocidade da partícula no plano xy:
    \vec{v}=(6,0\,t-4,0\,t^{2})\hat{\imath}+8,00\hat{\jmath}.
    Ou seja, as componentes da velocidade são: v_x(t)=6,0\,t-4,0\,t^{2}, \qquad v_y(t)=8,00.
  • A pergunta é: “Quando (se alguma vez) a aceleração é zero?” — isto é, para quais instantes t>0 vale \vec{a}(t)=\vec{0}.

Passo 2

Lembrete essencial (aulinha rápida): aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para vetores, derivamos componente a componente. Portanto
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{dv_x}{dt}\,\hat{\imath}+\frac{dv_y}{dt}\,\hat{\jmath}.
Também usaré regras básicas de derivação: a derivada de c\,t é c e a derivada de c\,t^{2} é 2c\,t. A derivada de uma constante é zero.

Passo 3

Derivando a componente x:
v_x(t)=6,0\,t-4,0\,t^{2}
Aplicando a regra termo a termo:
\frac{dv_x}{dt}=6,0-2\cdot4,0\,t=6,0-8,0\,t.
Portanto a componente x da aceleração é \;a_x(t)=6,0-8,0\,t (unidade \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 4

Derivando a componente y:
v_y(t)=8,00
Como isto é constante, a derivada é zero:
\frac{dv_y}{dt}=0.
Logo a componente y da aceleração é \;a_y(t)=0.

Passo 5

Escrevendo o vetor aceleração:
\vec{a}(t)=(6,0-8,0\,t)\hat{\imath}+0\hat{\jmath}.
Para que \vec{a}(t)=\vec{0} precisamos que ambas as componentes sejam zero. A componente y já é zero para todo t. Resta resolver a equação da componente x:
6,0-8,0\,t=0.
Isolando t:
8,0\,t=6,0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{6,0}{8,0}=\frac{3}{4}=0,75.

Passo 6

Verificação rápida: para t=0,75 s a componente x fica 6,0-8,0\cdot0,75=6,0-6,0=0, e a componente y já era 0. Como t=0,75>0, este instante está no domínio pedido. Interpretação física curta: em t=0,75 s a aceleração instantânea é nula (não significa que a velocidade é constante para todos os tempos, apenas naquele instante a velocidade não está mudando).

Resposta

t=0,75\\ \mathrm{s}

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