A velocidade \vec{v} de uma partícula que se move no plano x y é dada por \vec{v}=(6,0 t- \left.4,0 t^{2}\right) \hat{\imath}+8,00 \hat{\jmath}, com \vec{v} em metros por segundo e t (>0) em segundos.
Quando (se alguma vez) a velocidade é zero?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de uma partícula no plano xy como
\vec{v}(t) = \bigl(6,0\,t - 4,0\,t^{2}\bigr)\,\hat{\imath} + 8,00\,\hat{\jmath},
com \vec{v} em \mathrm{m/s} e t>0 em segundos.
A pergunta é: quando (se alguma vez) a velocidade é zero?
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Componente x da velocidade: \;v_x(t)=6,0\,t - 4,0\,t^{2}.
  • Componente y da velocidade: \;v_y(t)=8,00 (constante).
  • Domínio do tempo: t>0.
O que o enunciado pede concretamente: encontrar tempos t>0 tais que a velocidade seja o vetor nulo, isto é, \vec{v}(t)=\vec{0}. Isso significa que precisamos ter simultaneamente v_x(t)=0 e v_y(t)=0.

Passo 2

Explicando a teoria necessária (passo-a-passo e com calma):
Um vetor velocidade \vec{v}=(v_x,v_y)\) é o vetor nulo somente quando as duas componentes são zero ao mesmo tempo. Portanto, para encontrar quando \(\vec{v}(t)=\vec{0}\) deve-se resolver o sistema \[\begin{cases} v_x(t)=0,\\[4pt] v_y(t)=0. \end{cases}
Aqui v_x(t)\] e \(v_y(t) são funções de t. Se alguma das equações não tiver solução compatível com a outra, então não existe tempo em que ambas sejam zero ao mesmo tempo.]

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: escrevemos as equações explicitamente
v_x(t)=6,0\,t - 4,0\,t^{2}=0, \qquad v_y(t)=8,00=0.
Vamos primeiro analisar v_y(t)=8,00=0. Esta é uma equação impossível, porque 8,00 é um número constante diferente de zero. Logo não existe nenhum t que torne v_y(t)=0.

Passo 4

Mesmo assim, por completude, resolvemos a equação v_x(t)=0 para ver os tempos que anulam a componente x:
6,0\,t - 4,0\,t^{2}=0.
Fatorando t:
t\,(6,0 - 4,0\,t)=0.
As soluções dessa equação são
t=0 \qquad\text{ou}\qquad 6,0 - 4,0\,t=0 \Rightarrow t=\dfrac{6,0}{4,0}=1,5\\ \text{s}.
Observações importantes:
  • t=0 não pertence ao intervalo pedido ( t>0), portanto não conta.
  • t=1,5\\ \text{s} anula v_x, mas nesse tempo a componente y continua valendo v_y=8,00\neq0. Assim, mesmo em t=1,5\\ \text{s} a velocidade não é o vetor nulo, porque falta anular v_y.

Passo 5

Conclusão lógica (com motivação): como a componente y da velocidade é sempre 8,00 e nunca chega a zero, não existe instante t>0 em que as duas componentes sejam simultaneamente nulas. Portanto a velocidade nunca é zero no intervalo considerado. Força aí — deu trabalho menos do que parecia, e a ideia chave é sempre checar ambas as componentes!

Resposta

A velocidade nunca é zero para t>0.

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