A velocidade \vec{v} de uma partícula que se move no plano x y é dada por \vec{v}=(6,0 t- \left.4,0 t^{2}\right) \hat{\imath}+8,00 \hat{\jmath}, com \vec{v} em metros por segundo e t (>0) em segundos.
Quando (se alguma vez) a velocidade escalar da partícula é igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade vetorial da partícula no plano xy e pede quando a velocidade escalar (ou seja, o módulo da velocidade) vale 10\\ \mathrm{m/s}. Informações fornecidas:
  • A velocidade vetorial é \vec{v}=(6{,}0\,t-4{,}0\,t^{2})\hat{\imath}+8{,}00\hat{\jmath}, com \vec{v} em \mathrm{m/s} e t>0 em segundos.
  • A pergunta é: para que(s) valor(es) de t a velocidade escalar |\vec{v}| é igual a 10\\ \mathrm{m/s}?

Passo 2

O que significa “velocidade escalar” aqui?
  • A velocidade escalar é o módulo (norma) do vetor velocidade \vec{v}.
  • Se \vec{v}=(v_x,v_y), então o módulo é dado pela fórmula do comprimento de um vetor no plano:
|\vec{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Expliquei essa fórmula: ela vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas componentes v_x e v_y.

Passo 3

Identificar as componentes v_x(t) e v_y(t) a partir do enunciado:
  • A componente x é \;v_x(t)=6{,}0\,t-4{,}0\,t^{2}.
  • A componente y é \;v_y(t)=8{,}00.
    Estão todas as quantidades em \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora impomos a condição pedida: |\vec{v}|=10. Substituindo a fórmula do módulo:
\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}=10.
Elevando ao quadrado (procedimento comum para eliminar raiz; como a raiz é não-negativa, não cria soluções espúrias):
v_x^{2}+v_y^{2}=100.

Passo 5

Substituir as componentes na equação:
(6{,}0\,t-4{,}0\,t^{2})^{2}+(8{,}00)^{2}=100.
Calcular (8{,}00)^{2}:
(8{,}00)^{2}=64.
Logo
(6{,}0\,t-4{,}0\,t^{2})^{2}=100-64=36.
Tirando raiz quadrada dos dois lados obtemos
6{,}0\,t-4{,}0\,t^{2}= \pm 6.
Isto gera duas equações a resolver:
\text{(I)}\quad 6t-4t^{2}=6 \qquad\text{e}\qquad \text{(II)}\quad 6t-4t^{2}=-6.
(Usei notação simplificada sem zeros decimais, pois 6{,}0=6 etc.; ambos são números reais iguais.)

Passo 6

Resolver a equação (I):
6t-4t^{2}=6 \;\Longrightarrow\; -4t^{2}+6t-6=0 \;\Longrightarrow\; 4t^{2}-6t+6=0.
Calcular o discriminante \Delta da quadrática \,4t^{2}-6t+6=0:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot 4\cdot 6 =36-96=-60<0.
Como \Delta<0, não existem raízes reais para (I). Portanto (I) não fornece tempos reais.
Agora resolver a equação (II):
6t-4t^{2}=-6 \;\Longrightarrow\; -4t^{2}+6t+6=0 \;\Longrightarrow\; 4t^{2}-6t-6=0.
Calcular o discriminante:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot 4\cdot(-6)=36+96=132.
Como \Delta>0, há duas raízes reais. Aplicando a fórmula quadrática:
t=\frac{6\pm\sqrt{132}}{8}.
Simplificando \sqrt{132}=\sqrt{4\cdot 33}=2\sqrt{33}, temos
t=\frac{6\pm 2\sqrt{33}}{8}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}.

Passo 7

Escolher apenas tempos físicos: o problema especifica t>0. Avaliar as duas raízes:
t_{1}=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\quad\text{e}\quad t_{2}=\frac{3-\sqrt{33}}{4}.
Como \sqrt{33}\approx 5{,}74456, temos
t_{1}\approx\frac{3+5{,}74456}{4}\approx 2{,}18614\\ \mathrm{s},
t_{2}\approx\frac{3-5{,}74456}{4}\approx -0{,}68614\\ \mathrm{s}.
Descartamos t_{2} porque é negativa. Portanto há somente um instante positivo em que |\vec{v}|=10\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

t=\dfrac{3+\sqrt{33}}{4}\approx 2{,}19\\ \mathrm{s}

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