A velocidade
de uma partícula que se move no plano
é dada por
, com
em metros por segundo e t
) em segundos.
Quando (se alguma vez) a velocidade escalar da partícula é igual a
?
Quando (se alguma vez) a velocidade escalar da partícula é igual a
Passo 1
O enunciado dá a velocidade vetorial da partícula no plano
e pede quando a velocidade escalar (ou seja, o módulo da velocidade) vale
. Informações fornecidas:
- A velocidade vetorial é
, com em e em segundos. - A pergunta é: para que(s) valor(es) de
a velocidade escalar é igual a ?
Passo 2
O que significa “velocidade escalar” aqui?
- A velocidade escalar é o módulo (norma) do vetor velocidade
. - Se
, então o módulo é dado pela fórmula do comprimento de um vetor no plano:
Expliquei essa fórmula: ela vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas componentes
e
.
Passo 3
Identificar as componentes
e
a partir do enunciado:
- A componente
é - A componente
é
Estão todas as quantidades em.
Passo 4
Agora impomos a condição pedida:
. Substituindo a fórmula do módulo:
Elevando ao quadrado (procedimento comum para eliminar raiz; como a raiz é não-negativa, não cria soluções espúrias):
Passo 5
Substituir as componentes na equação:
Calcular
:
Logo
Tirando raiz quadrada dos dois lados obtemos
Isto gera duas equações a resolver:
(Usei notação simplificada sem zeros decimais, pois
etc.; ambos são números reais iguais.)
Passo 6
Resolver a equação (I):
Calcular o discriminante
da quadrática
:
Como
, não existem raízes reais para (I). Portanto (I) não fornece tempos reais.
Agora resolver a equação (II):
Calcular o discriminante:
Como
, há duas raízes reais. Aplicando a fórmula quadrática:
Simplificando
, temos
Passo 7
Escolher apenas tempos físicos: o problema especifica
. Avaliar as duas raízes:
Como
, temos
Descartamos
porque é negativa. Portanto há somente um instante positivo em que
.