As velocidades de difusão do carbono no Fe- e no Ferro- são dadas por:
\begin{aligned} & \mathrm{D} \alpha=0,0079 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} \cdot \mathrm{e}[-18.100(\mathrm{cal} / \mathrm{mol}) / \mathrm{RT}] ; \\\ & \mathrm{D} \gamma=0,21 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} \cdot \mathrm{e}[-33.800(\mathrm{cal} / \mathrm{mol}) / \mathrm{RT}] . \end{aligned}
a) Determine os coeficientes de difusão a 800{ }^{\circ} \mathrm{C} e a 1000{ }^{\circ} \mathrm{C}.
b) Explique o valor de \mathrm{D} \alpha em comparação com \mathrm{D} \gamma.

Passo 1

O enunciado fornece os coeficientes de difusão do carbono em ferrita ( \alpha) e austenita ( \gamma) na forma de leis de Arrhenius:
D_\alpha = 0,0079\;\mathrm{cm^2/s}\,\exp\!\Bigl[-\frac{18\,100\;\mathrm{cal/mol}}{R\,T}\Bigr],
D_\gamma = 0,21\;\mathrm{cm^2/s}\,\exp\!\Bigl[-\frac{33\,800\;\mathrm{cal/mol}}{R\,T}\Bigr].
O objetivo é:
a) calcular D_\alpha e D_\gamma a 800^\circ\mathrm{C} e 1000^\circ\mathrm{C};
b) explicar por que D_\alpha difunde mais rápido que D_\gamma.

Passo 2

Para aplicar as leis de Arrhenius precisamos:
  1. Converter as temperaturas para kelvin:
T_1 = 800^\circ\mathrm{C} +273 = 1073\;\mathrm{K},\quad T_2 = 1000^\circ\mathrm{C} +273 = 1273\;\mathrm{K}.
  1. Usar a constante dos gases em unidades compatíveis:
R = 1,987\;\mathrm{cal/(mol\,K)}.

Passo 3

Cálculo dos coeficientes a 800^\circ\mathrm{C} ( T_1=1073\;\mathrm{K}):
  1. Exponente em \alpha:
-\frac{18\,100}{R\,T_1} = -\frac{18\,100}{1,987\times1073} \approx -8,49,
\exp(-8,49)\approx2,06\times10^{-4},
D_\alpha(800^\circ\mathrm{C}) =0,0079\times2,06\times10^{-4} \approx1,6\times10^{-6}\;\mathrm{cm^2/s}.
  1. Exponente em \gamma:
-\frac{33\,800}{R\,T_1} = -\frac{33\,800}{1,987\times1073} \approx -15,86,
\exp(-15,86)\approx1,28\times10^{-7},
D_\gamma(800^\circ\mathrm{C}) =0,21\times1,28\times10^{-7} \approx2,7\times10^{-8}\;\mathrm{cm^2/s}.

Passo 4

Cálculo dos coeficientes a 1000^\circ\mathrm{C} ( T_2=1273\;\mathrm{K}):
  1. Exponente em \alpha:
-\frac{18\,100}{R\,T_2} = -\frac{18\,100}{1,987\times1273} \approx -7,15,
\exp(-7,15)\approx7,8\times10^{-4},
D_\alpha(1000^\circ\mathrm{C}) =0,0079\times7,8\times10^{-4} \approx6,2\times10^{-6}\;\mathrm{cm^2/s}.
  1. Exponente em \gamma:
-\frac{33\,800}{R\,T_2} = -\frac{33\,800}{1,987\times1273} \approx -13,36,
\exp(-13,36)\approx1,6\times10^{-6},
D_\gamma(1000^\circ\mathrm{C}) =0,21\times1,6\times10^{-6} \approx3,3\times10^{-7}\;\mathrm{cm^2/s}.

Passo 5

Comparando \alpha e \gamma:
D_\alpha é sempre maior que D_\gamma porque a energia de ativação em \alpha ( 18{,}1\;\mathrm{kcal/mol}) é bem menor que em \gamma ( 33{,}8\;\mathrm{kcal/mol}).
– Além disso, a estrutura cúbica de corpo centrado (BCC) da ferrita oferece sítios intersticiais maiores e menos densidade de empacotamento que a cúbica de faces centradas (FCC) da austenita, facilitando a migração do carbono.

Resposta

a)
D_\alpha(800^\circ\mathrm{C})\approx1,6\times10^{-6}\;\mathrm{cm^2/s}
D_\gamma(800^\circ\mathrm{C})\approx2,7\times10^{-8}\;\mathrm{cm^2/s}
D_\alpha(1000^\circ\mathrm{C})\approx6,2\times10^{-6}\;\mathrm{cm^2/s}
D_\gamma(1000^\circ\mathrm{C})\approx3,3\times10^{-7}\;\mathrm{cm^2/s}
b) O carbono difunde mais rápido em \alpha porque a barreira de ativação é menor e a rede BCC tem sítios intersticiais maiores que a rede FCC.

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