As velocidades de veículos ao longo de uma estrada são normalmente distribuídas, com uma média de 67 [Km/Hora] e um desvio padrão de 4 [Km/Hora]. Encontre as velocidades x que correspondam aos z -scores de 1,
e 0 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as velocidades correspondentes:
- Média das velocidades:
. - Desvio padrão:
. - Pedem as velocidades
que correspondem aos z-scores e .
Essencialmente: para cada valor dedado, encontrar .
Passo 2
Entendendo o que é um z-score (explicação didática):
- O z-score mede quantos desvios-padrão um valor
está acima (ou abaixo) da média. - A definição matemática é
onde:
-
é o z-score (número adimensional), -
é o valor da variável (a velocidade que queremos), -
é a média da distribuição (aqui ), -
é o desvio padrão (aqui ).
Explicando em palavras: se, então está exatamente um desvio-padrão acima da média; se , está um desvio-padrão abaixo da média, etc.
Passo 3
Isolando
na fórmula para poder calcular diretamente a partir de
: começamos de
Multiplicando ambos os lados por
e somando
, obtemos a fórmula inversa
Aqui cada símbolo tem o mesmo significado explicado antes. Essa fórmula é a que vamos usar para calcular
para cada
pedido.
Passo 4
Cálculo para
. Aplicando a fórmula
Primeiro calcule o produto
:
Agora some à média:
Portanto a velocidade correspondente a
é
.
Passo 5
Cálculo para
. Aplicando a fórmula
Calcule o produto
:
Agora some à média:
Portanto a velocidade correspondente a
é
.
Passo 6
Cálculo para
. Aplicando a fórmula
Como
, temos
Isto faz sentido intuitivamente:
corresponde exatamente à média, então
.
Passo 7
Interpretação rápida (para usar na prova):
- Se na prova te der um z-score e pedirem o valor original, use sempre
. - Faça primeiro a multiplicação
com cuidado com sinais e casas decimais, depois some à média. - Confirme a unidade final: aqui é
. Força aí — isso é tipo uma conta direta quando se conhece média e desvio-padrão!