As velocidades de veículos ao longo de uma estrada são normalmente distribuídas, com uma média de 67 [Km/Hora] e um desvio padrão de 4 [Km/Hora]. Encontre as velocidades x que correspondam aos z -scores de 1, 96 ;-2,33 e 0 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as velocidades correspondentes:
  • Média das velocidades: \mu = 67 \text{km/h}.
  • Desvio padrão: \sigma = 4 \text{km/h}.
  • Pedem as velocidades x que correspondem aos z-scores \;1,96\;,\;-2,33\; e \;0\;.
    Essencialmente: para cada valor de z dado, encontrar x.

Passo 2

Entendendo o que é um z-score (explicação didática):
  • O z-score mede quantos desvios-padrão um valor x está acima (ou abaixo) da média.
  • A definição matemática é
z=\frac{x-\mu}{\sigma},
onde:
  • z é o z-score (número adimensional),
  • x é o valor da variável (a velocidade que queremos),
  • \mu é a média da distribuição (aqui \mu=67),
  • \sigma é o desvio padrão (aqui \sigma=4).
    Explicando em palavras: se z=1, então x está exatamente um desvio-padrão acima da média; se z=-1, x está um desvio-padrão abaixo da média, etc.

Passo 3

Isolando x na fórmula para poder calcular diretamente a partir de z: começamos de
z=\frac{x-\mu}{\sigma}.
Multiplicando ambos os lados por \sigma e somando \mu, obtemos a fórmula inversa
x=\mu+z\cdot\sigma.
Aqui cada símbolo tem o mesmo significado explicado antes. Essa fórmula é a que vamos usar para calcular x para cada z pedido.

Passo 4

Cálculo para z=1,96. Aplicando a fórmula
x=\mu+z\cdot\sigma = 67 + 1,96\cdot 4.
Primeiro calcule o produto \,1,96\cdot 4\::
1,96\cdot 4 = 7,84.
Agora some à média:
x = 67 + 7,84 = 74,84.
Portanto a velocidade correspondente a z=1,96 é \,74,84\\ \text{km/h}.

Passo 5

Cálculo para z=-2,33. Aplicando a fórmula
x=\mu+z\cdot\sigma = 67 + (-2,33)\cdot 4.
Calcule o produto (-2,33)\cdot 4:
-2,33\cdot 4 = -9,32.
Agora some à média:
x = 67 - 9,32 = 57,68.
Portanto a velocidade correspondente a z=-2,33 é \,57,68\\ \text{km/h}.

Passo 6

Cálculo para z=0. Aplicando a fórmula
x=\mu+z\cdot\sigma = 67 + 0\cdot 4.
Como 0\cdot 4 = 0, temos
x = 67.
Isto faz sentido intuitivamente: z=0 corresponde exatamente à média, então x=\mu.

Passo 7

Interpretação rápida (para usar na prova):
  • Se na prova te der um z-score e pedirem o valor original, use sempre x=\mu+z\sigma.
  • Faça primeiro a multiplicação z\cdot\sigma com cuidado com sinais e casas decimais, depois some à média.
  • Confirme a unidade final: aqui é \text{km/h}. Força aí — isso é tipo uma conta direta quando se conhece média e desvio-padrão!

Resposta

x=74,84\\ \text{km/h}
x=57,68\\ \text{km/h}
x=67\\ \text{km/h}

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