O tempo de atendimento numa oficina é bem aproximado por uma distribuição exponencial com média de 4 minutos. Qual a probabilidade de:
Inferior a 4 minutos.
Inferior a 4 minutos.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que o tempo de atendimento seja inferior a 4 minutos. Informação dada:
- A variável aleatória
(tempo de atendimento, em minutos) segue uma distribuição exponencial com média igual a minutos.
A pergunta explícita é: calcular.
Passo 2
Vamos entender a distribuição exponencial de forma bem direta e sem frescura.
- A função densidade de probabilidade (pdf) da exponencial é
onde
é a taxa (número de eventos por unidade de tempo) e
é o tempo observado (em minutos).
- A função de distribuição acumulada (cdf), que dá
, é
- Aqui estamos interessados em
. Para variáveis contínuas a diferença entre e é irrelevante, logo usaremos . - Falta encontrar
. Lembre que a média da exponencial está ligada a por
Nesta fórmula,
é o tempo médio (em minutos) e
tem unidade de
.
Passo 3
Usar a média dada para achar
.
- Dado
minutos, temos
Ou seja,
.
Passo 4
Calcular a probabilidade pedida substituindo na cdf.
- Escrevendo a fórmula:
- Substituindo
:
- Agora avaliar numericamente
. Lembrando que , temos
- Portanto
Arredondando de forma comum para quatro casas decimais fica
.
Passo 5
Interpretação rápida e um empurrãozinho: a resposta significa que, com média de
minutos, a probabilidade de o atendimento durar menos do que a média (isto é, menos de
minutos) é cerca de
. Isso é típico da exponencial: a mediana é menor que a média, então é bastante provável que o tempo seja menor que a média. Força aí — você já está pegando o jeito!