O tempo de atendimento numa oficina é bem aproximado por uma distribuição exponencial com média de 4 minutos. Qual a probabilidade de:
Inferior a 4 minutos.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que o tempo de atendimento seja inferior a 4 minutos. Informação dada:
  • A variável aleatória X (tempo de atendimento, em minutos) segue uma distribuição exponencial com média igual a 4 minutos.
    A pergunta explícita é: calcular \mathbb{P}(X<4).

Passo 2

Vamos entender a distribuição exponencial de forma bem direta e sem frescura.
  • A função densidade de probabilidade (pdf) da exponencial é
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge 0,
onde \lambda>0 é a taxa (número de eventos por unidade de tempo) e x é o tempo observado (em minutos).
  • A função de distribuição acumulada (cdf), que dá \mathbb{P}(X\le x), é
F_X(x)=1-e^{-\lambda x},\quad x\ge 0.
  • Aqui estamos interessados em \mathbb{P}(X<4). Para variáveis contínuas a diferença entre < e \le é irrelevante, logo usaremos F_X(4)=\mathbb{P}(X<4)=1-e^{-\lambda\cdot 4}.
  • Falta encontrar \lambda. Lembre que a média \mathbb{E}[X] da exponencial está ligada a \lambda por
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Nesta fórmula, \mathbb{E}[X] é o tempo médio (em minutos) e \lambda tem unidade de \text{min}^{-1}.

Passo 3

Usar a média dada para achar \lambda.
  • Dado \mathbb{E}[X]=4 minutos, temos
\frac{1}{\lambda}=4 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{4}.
Ou seja, \lambda=\dfrac{1}{4}\\ \text{min}^{-1}.

Passo 4

Calcular a probabilidade pedida substituindo na cdf.
  • Escrevendo a fórmula:
\mathbb{P}(X<4)=1-e^{-\lambda\cdot 4}.
  • Substituindo \lambda=\dfrac{1}{4}:
\mathbb{P}(X<4)=1-e^{-\frac{1}{4}\cdot 4}=1-e^{-1}.
  • Agora avaliar numericamente e^{-1}. Lembrando que e\approx 2{,}7182818, temos
e^{-1}\approx 0{,}3678794.
  • Portanto
\mathbb{P}(X<4)=1-0{,}3678794\approx 0{,}6321206.
Arredondando de forma comum para quatro casas decimais fica 0{,}6321.

Passo 5

Interpretação rápida e um empurrãozinho: a resposta significa que, com média de 4 minutos, a probabilidade de o atendimento durar menos do que a média (isto é, menos de 4 minutos) é cerca de 63{,}2\%. Isso é típico da exponencial: a mediana é menor que a média, então é bastante provável que o tempo seja menor que a média. Força aí — você já está pegando o jeito!

Resposta

1-e^{-1}\approx 0,6321

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