Um ventilador axial movimenta 90 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de ar com massa específica igual a 1,18 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, aspirando de uma câmara à pressão de 950 Pa e insuflando em outra à pressão de 1900 Pa , com uma velocidade de insuflagio de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Na aspiração há um filtro onde se produz uma queda de pressão (perda de carga) de 400 Pa . No conduto de aspiração produz-se uma perda adicional de 600 Pa, e no conduto de descarga, uma perda de 1000 Pa. Sabendo-se que o ventilador possui as seguintes características: \mathrm{n}=300 \mathrm{rpm} ; \mathrm{cm} 5=12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \mathrm{D} 5=3,8 \mathrm{~m}, \mathrm{a} 4= 90^{\circ} ; \mathrm{nh}=0,85 ; \mathrm{nt}=0,75 e considerando-se número infinito de pás com espessura infinitesimal, calcular:
a) diferença de pressão total a ser vencida pelo ventilador;
b) potência consumida no seu eixo;
c) ângulo de inclinação das pás na saída do rotor.

Passo 1

O enunciado pede as três coisas a seguir:
a) a diferença de pressão total que o ventilador deve vencer;
b) a potência consumida no eixo do ventilador;
c) o ângulo de inclinação das pás na saída do rotor.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente, com as letras/nomes que vou usar depois):
Q=90\\ \mathrm{m^3/s},\quad \rho=1{,}18\\ \mathrm{kg/m^3}
p_{\text{asp}}=950\\ \mathrm{Pa},\quad p_{\text{esc}}=1900\\ \mathrm{Pa}
queda de pressão no filtro na aspiração: \Delta p_{\text{filtro}}=400\\ \mathrm{Pa}
perda no conduto de aspiração: \Delta p_{\text{asp.cond}}=600\\ \mathrm{Pa}
perda no conduto de descarga: \Delta p_{\text{desc.cond}}=1000\\ \mathrm{Pa}
velocidade de insuflagem (na saída para a câmara de descarga): c_{\text{desc}}=10\\ \mathrm{m/s}
características do ventilador: n=300\\ \mathrm{rpm}, c_{m5}=12\\ \mathrm{m/s}, D_5=3{,}8\\ \mathrm{m}, \alpha_4=90^\circ (dado: fluxo axial na entrada), \eta_h=0{,}85, \eta_t=0{,}75.
Observações que vou usar (não peço nada a você — são escolhas necessárias):
  • O enunciado não dá velocidade no ambiente de aspiração; vou assumir que a câmara de aspiração é grande e a velocidade lá é desprezível ( c_{\text{asp}}\approx0). Vou explicitar quando usar isso.
  • As perdas indicadas ( 400,\;600,\;1000\\ \mathrm{Pa}) são perdas de pressão estática já mensuradas em Pa e somam-se diretamente.
  • \alpha_4=90^\circ significa que a componente tangencial da velocidade absoluta na entrada é nula: c_{\theta1}=0.
    A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Calcular a vazão mássica (fluxo de massa), porque vamos precisar para potenciais verificações e para interpretar potências:
\dot m=\rho Q
Substituindo os números:
\dot m=1{,}18\cdot 90 = 106{,}2\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação didática curta: \dot m é a massa de ar que passa por segundo; é importante porque potência (W) = energia por segundo = trabalho específico (J/kg) vezes \dot m.

Passo 3

Determinar a diferença de pressão total que o ventilador tem de vencer.
Raciocínio físico (fórmula): o ventilador tem que elevar a pressão estática entre as câmaras e ainda vencer as perdas nos filtros e condutos; além disso, se as velocidades nas câmaras forem diferentes, há uma diferença de cabeça cinética (termo de velocidade) a considerar. Então:
\Delta p_{\text{total}} = (p_{\text{esc}}-p_{\text{asp}}) + \sum\text{perdas} + \tfrac{1}{2}\rho\big(c_{\text{desc}}^{2}-c_{\text{asp}}^{2}\big).
Aqui \sum\text{perdas}=\Delta p_{\text{filtro}}+\Delta p_{\text{asp.cond}}+\Delta p_{\text{desc.cond}}. Como expliquei no Passo 1, assumo c_{\text{asp}}\approx 0 porque a câmara de aspiração é grande e a velocidade lá é desprezível.
Agora substituo valores:
(p_{\text{esc}}-p_{\text{asp}})=1900-950=950\\ \mathrm{Pa},
\sum\text{perdas}=400+600+1000=2000\\ \mathrm{Pa},
\tfrac{1}{2}\rho c_{\text{desc}}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}18\cdot 10^{2}=0{,}5\cdot 1{,}18\cdot 100=59\\ \mathrm{Pa}.
Somando tudo:
\Delta p_{\text{total}}=950+2000+59=3009\\ \mathrm{Pa}.
Breve explicação didática: o termo \tfrac{1}{2}\rho c^{2} é a “cabeça cinética” (energia cinética por unidade de volume). Se a velocidade de descarga fosse zero, este termo sumiria; como há velocidade de insuflagem 10\\ \mathrm{m/s}, precisamos elevar também essa energia cinética.

Passo 4

Calcular a potência hidráulica (energia por segundo fornecida ao fluido) — ou seja, a potência útil no fluido que o ventilador precisa fornecer:
P_{\text{fluido}} = Q\cdot \Delta p_{\text{total}}.
Substituindo:
P_{\text{fluido}} = 90\cdot 3009 = 270\,810\\ \mathrm{W}.
Explicação: Q (m^3/s) vezes Pa (N/m^2) dá N·m/s = W. Esse é o trabalho por segundo entregue ao ar (potência útil no fluido).

Passo 5

Converter essa potência útil no fluido para potência no eixo do ventilador usando a eficiência hidráulica \eta_h.
Definição de eficiência hidráulica (didática): \eta_h é a razão entre a potência transmitida ao fluido e a potência fornecida ao eixo (ou seja, perdas mecânicas/ineficiências do rotor). Logo:
P_{\text{eixo}}=\frac{P_{\text{fluido}}}{\eta_h}.
Substituindo:
P_{\text{eixo}}=\frac{270\,810}{0{,}85}=318\,600\\ \mathrm{W}\approx 318{,}6\\ \mathrm{kW}.
Observação didática: o enunciado também dá \eta_t=0{,}75. Esse valor parece ser uma eficiência total (por exemplo, incluindo máquinas acionadoras). Se o problema pedisse a potência elétrica a ser fornecida ao motor, dividiríamos P_{\text{eixo}} por essa eficiência total; mas como a pergunta (b) pede explicitamente “potência consumida no seu eixo”, usei \eta_h para obter a potência no eixo do ventilador. Se você quiser o consumo elétrico no motor, seria P_{\text{motor}}=P_{\text{eixo}}/\eta_t (não pedido).

Passo 6

Agora determinamos o ângulo de inclinação das pás na saída do rotor. Vou mostrar a teoria usada, passo a passo, bem didático:
Teoria necessária (resumo): a equação de Euler para máquinas radiais/axiais dá o trabalho específico (energia por unidade de massa) entregue ao fluido em termos da velocidade periférica U e das componentes tangenciais das velocidades absolutas na entrada e na saída:
\Delta h_0 \;=\; U\big(c_{\theta2}-c_{\theta1}\big),
onde \Delta h_0 é a variação de entalpia total específica (J/kg) — que para fluido incompressível é \Delta h_0=\dfrac{\Delta p_{\text{total}}}{\rho}. Aqui c_{\theta1} é a componente tangencial da velocidade absoluta na entrada e c_{\theta2} a da saída. No enunciado temos \alpha_4=90^\circ, que indica entrada axial sem componente tangencial, então:
c_{\theta1}=0.
Portanto
U\,c_{\theta2}=\frac{\Delta p_{\text{total}}}{\rho}.
Dessa expressão podemos isolar c_{\theta2}:
c_{\theta2}=\frac{\Delta p_{\text{total}}}{\rho\,U}.
Agora calculo U, a velocidade periférica na borda de diâmetro D_5. Primeiro converto n em rad/s:
\omega = 2\pi\frac{n}{60} = 2\pi\frac{300}{60}=10\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 31{,}4159\\ \mathrm{rad/s}.
O raio é r=\dfrac{D_5}{2}=1{,}9\\ \mathrm{m}. Então
U=\omega r = 31{,}4159\cdot 1{,}9 \approx 59{,}69\\ \mathrm{m/s}.
Substituo para obter c_{\theta2}:
c_{\theta2}=\frac{3009}{1{,}18\cdot 59{,}69}=\frac{3009}{70{,}4442}\approx 42{,}74\\ \mathrm{m/s}.
Explicação: c_{\theta2} é a componente tangencial da velocidade absoluta na saída necessária para produzir a variação de energia observada.

Passo 7

Agora encontramos o ângulo das pás na saída. Para isso usamos a cinemática no referencial relativo ao rotor. A velocidade relativa de saída tem componente tangencial
w_{\theta2}=U-c_{\theta2}.
Substituindo:
w_{\theta2}=59{,}69-42{,}74=16{,}95\\ \mathrm{m/s}.
A componente meridional (axial) fornecida no enunciado é c_{m5}=12\\ \mathrm{m/s} (essa é a componente axial do escoamento no plano de saída). No triângulo de velocidades relativo, o ângulo da pá em relação à tangente (ângulo \beta_2) obedece
\tan\beta_2=\frac{c_{m5}}{w_{\theta2}}.
Então
\beta_2=\arctan\!\left(\frac{12}{16{,}95}\right)=\arctan(0{,}7076)\approx 35{,}27^\circ.
Interpretação: esse \beta_2 é o ângulo entre a folha (pá) e a direcção tangencial; muitas vezes se declara também o ângulo em relação ao eixo axial — que seria 90^\circ-\beta_2\approx 54{,}73^\circ. Em problemas de ventilador é comum dar o ângulo da pá medido a partir da tangente; portanto o resultado principal é \beta_2\approx 35{,}3^\circ.

Resposta

a) \Delta p_{\text{total}}=3009\\ \mathrm{Pa}.
b) P_{\text{eixo}}=318\,600\\ \mathrm{W} (aprox. 318{,}6\\ \mathrm{kW}).
c) ângulo das pás na saída (medido a partir da tangente): \beta_2\approx 35{,}3^\circ.

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