Um ventilador axial movimenta
de ar com massa específica igual a
, aspirando de uma câmara à pressão de 950 Pa e insuflando em outra à pressão de 1900 Pa , com uma velocidade de insuflagio de
. Na aspiração há um filtro onde se produz uma queda de pressão (perda de carga) de 400 Pa . No conduto de aspiração produz-se uma perda adicional de 600 Pa, e no conduto de descarga, uma perda de 1000 Pa. Sabendo-se que o ventilador possui as seguintes características:
e considerando-se número infinito de pás com espessura infinitesimal, calcular:
a) diferença de pressão total a ser vencida pelo ventilador;
b) potência consumida no seu eixo;
c) ângulo de inclinação das pás na saída do rotor.
a) diferença de pressão total a ser vencida pelo ventilador;
b) potência consumida no seu eixo;
c) ângulo de inclinação das pás na saída do rotor.
Passo 1
O enunciado pede as três coisas a seguir:
a) a diferença de pressão total que o ventilador deve vencer;
b) a potência consumida no eixo do ventilador;
c) o ângulo de inclinação das pás na saída do rotor.
a) a diferença de pressão total que o ventilador deve vencer;
b) a potência consumida no eixo do ventilador;
c) o ângulo de inclinação das pás na saída do rotor.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente, com as letras/nomes que vou usar depois):
queda de pressão no filtro na aspiração:
perda no conduto de aspiração:
perda no conduto de descarga:
velocidade de insuflagem (na saída para a câmara de descarga):
características do ventilador: ,
,
,
(dado: fluxo axial na entrada),
,
.
perda no conduto de aspiração:
perda no conduto de descarga:
velocidade de insuflagem (na saída para a câmara de descarga):
características do ventilador:
Observações que vou usar (não peço nada a você — são escolhas necessárias):
- O enunciado não dá velocidade no ambiente de aspiração; vou assumir que a câmara de aspiração é grande e a velocidade lá é desprezível (
). Vou explicitar quando usar isso. - As perdas indicadas (
) são perdas de pressão estática já mensuradas em Pa e somam-se diretamente. -
significa que a componente tangencial da velocidade absoluta na entrada é nula: .
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Calcular a vazão mássica (fluxo de massa), porque vamos precisar para potenciais verificações e para interpretar potências:
Substituindo os números:
Explicação didática curta:
é a massa de ar que passa por segundo; é importante porque potência (W) = energia por segundo = trabalho específico (J/kg) vezes
.
Passo 3
Determinar a diferença de pressão total que o ventilador tem de vencer.
Raciocínio físico (fórmula): o ventilador tem que elevar a pressão estática entre as câmaras e ainda vencer as perdas nos filtros e condutos; além disso, se as velocidades nas câmaras forem diferentes, há uma diferença de cabeça cinética (termo de velocidade) a considerar. Então:
Raciocínio físico (fórmula): o ventilador tem que elevar a pressão estática entre as câmaras e ainda vencer as perdas nos filtros e condutos; além disso, se as velocidades nas câmaras forem diferentes, há uma diferença de cabeça cinética (termo de velocidade) a considerar. Então:
Aqui
. Como expliquei no Passo 1, assumo
porque a câmara de aspiração é grande e a velocidade lá é desprezível.
Agora substituo valores:
Somando tudo:
Breve explicação didática: o termo
é a “cabeça cinética” (energia cinética por unidade de volume). Se a velocidade de descarga fosse zero, este termo sumiria; como há velocidade de insuflagem
, precisamos elevar também essa energia cinética.
Passo 4
Calcular a potência hidráulica (energia por segundo fornecida ao fluido) — ou seja, a potência útil no fluido que o ventilador precisa fornecer:
Substituindo:
Explicação:
(m^3/s) vezes Pa (N/m^2) dá N·m/s = W. Esse é o trabalho por segundo entregue ao ar (potência útil no fluido).
Passo 5
Converter essa potência útil no fluido para potência no eixo do ventilador usando a eficiência hidráulica
.
Definição de eficiência hidráulica (didática): é a razão entre a potência transmitida ao fluido e a potência fornecida ao eixo (ou seja, perdas mecânicas/ineficiências do rotor). Logo:
Definição de eficiência hidráulica (didática):
Substituindo:
Observação didática: o enunciado também dá
. Esse valor parece ser uma eficiência total (por exemplo, incluindo máquinas acionadoras). Se o problema pedisse a potência elétrica a ser fornecida ao motor, dividiríamos
por essa eficiência total; mas como a pergunta (b) pede explicitamente “potência consumida no seu eixo”, usei
para obter a potência no eixo do ventilador. Se você quiser o consumo elétrico no motor, seria
(não pedido).
Passo 6
Agora determinamos o ângulo de inclinação das pás na saída do rotor. Vou mostrar a teoria usada, passo a passo, bem didático:
Teoria necessária (resumo): a equação de Euler para máquinas radiais/axiais dá o trabalho específico (energia por unidade de massa) entregue ao fluido em termos da velocidade periférica
e das componentes tangenciais das velocidades absolutas na entrada e na saída:
onde
é a variação de entalpia total específica (J/kg) — que para fluido incompressível é
. Aqui
é a componente tangencial da velocidade absoluta na entrada e
a da saída. No enunciado temos
, que indica entrada axial sem componente tangencial, então:
Portanto
Dessa expressão podemos isolar
:
Agora calculo
, a velocidade periférica na borda de diâmetro
. Primeiro converto
em rad/s:
O raio é
. Então
Substituo para obter
:
Explicação:
é a componente tangencial da velocidade absoluta na saída necessária para produzir a variação de energia observada.
Passo 7
Agora encontramos o ângulo das pás na saída. Para isso usamos a cinemática no referencial relativo ao rotor. A velocidade relativa de saída tem componente tangencial
Substituindo:
A componente meridional (axial) fornecida no enunciado é
(essa é a componente axial do escoamento no plano de saída). No triângulo de velocidades relativo, o ângulo da pá em relação à tangente (ângulo
) obedece
Então
Interpretação: esse
é o ângulo entre a folha (pá) e a direcção tangencial; muitas vezes se declara também o ângulo em relação ao eixo axial — que seria
. Em problemas de ventilador é comum dar o ângulo da pá medido a partir da tangente; portanto o resultado principal é
.
Resposta
a)
b) (aprox.
).
c) ângulo das pás na saída (medido a partir da tangente): .
b)
c) ângulo das pás na saída (medido a partir da tangente):