Questão 3(33, \overline{3} \%). Vazamentos são comuns em sistemas hidráulicos. Considere que um atuador hidráulico está parado e sustentando uma carga. A pressão manométrica de trabalho é de 18 M P a a uma temperatura de 55^{\circ} \mathrm{C}. O atuador hidráulico é composto de um pistão e cilindro com folga radial de 5 \mu \mathrm{~m}. Sabendo que o pistão tem 15 mm de comprimento, 25 mm de diâmetro e a pressão do lado de baixa pressão é a atmosférica, determine quanto de fluido hidráulico está vazando. Considere ainda que a densidade do óleo é S G=0,92 e sua viscosidade é de \mu=0,018 Pas.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a quantidade de fluido que está vazando (vazamento volumétrico):
  • Pressão manométrica do lado de alta pressão: \Delta p = 18\\ \mathrm{MPa} = 18\cdot 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura: 55^\circ\mathrm{C} (informação registrada, não necessária para o cálculo aqui).
  • Folga radial (entre pistão e cilindro): h = 5\\ \mu\mathrm{m} = 5\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do pistão (comprimento do anel de folga): L = 15\\ \mathrm{mm} = 0,015\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do pistão: D = 25\\ \mathrm{mm} = 0,025\\ \mathrm{m}. Portanto o raio médio R = \dfrac{D}{2} = 0,0125\\ \mathrm{m}.
  • Pressão do lado de baixa pressão: atmosférica (usada já ao computar \Delta p).
  • Densidade relativa (gravimétrica) do óleo: S_G = 0{,}92 → densidade \rho = 920\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade dinâmica do óleo: \mu = 0{,}018\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
O que se pede: determinar o vazamento volumétrico Q (por exemplo em \mathrm{m^3/s} ou \mathrm{mL/min}) através da folga radial.

Passo 2

Escolha do modelo e formulação (explicação didática e derivação):
  • Motivação do modelo: a folga radial é muito pequena em relação ao raio ( h \ll R). Nessas condições o escoamento pelo anel fino pode ser aproximado pela teoria de lubrificação, que reduz o problema à equação de Poiseuille entre duas placas paralelas separadas pela distância h, com comprimento axial L e largura igual à circunferência 2\pi R. Essa aproximação simplifica contas e é a prática comum para vazamentos anulares finos.
  • Fluxo entre placas paralelas (recordando a fórmula): para escoamento laminar e estacionário entre duas placas paralelas separadas por distância h, com queda de pressão \Delta p ao longo do comprimento L, o volume por unidade de largura (fluxo por unidade de largura) é
q'=\frac{h^{3}}{12\,\mu}\cdot\frac{\Delta p}{L}.
Aqui q' tem unidades \mathrm{m^2/s} (volume por tempo por unidade de largura).
  • Converter para o anel circular: a “largura” efetiva do canal é a circunferência 2\pi R. Então o vazamento volumétrico total Q é
Q = (2\pi R)\,q' = 2\pi R\cdot\frac{h^{3}}{12\,\mu}\cdot\frac{\Delta p}{L}.
Simplificando o fator numérico:
Q = \frac{\pi R\,h^{3}\,\Delta p}{6\,\mu\,L}.
  • Significado das variáveis:
    • Q: vazamento volumétrico ( \mathrm{m^3/s}),
    • R: raio médio do pistão ( \mathrm{m}),
    • h: folga radial ( \mathrm{m}),
    • \Delta p: diferença de pressão entre os lados ( \mathrm{Pa}),
    • \mu: viscosidade dinâmica do fluido ( \mathrm{Pa\cdot s}),
    • L: comprimento axial do anel ( \mathrm{m}).

Passo 3

Substituição numérica e cálculo passo a passo:
Dados numéricos já colocados: R=0{,}0125\\ \mathrm{m}, h=5{,}0\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m}, \Delta p=18{,}0\cdot 10^{6}\\ \mathrm{Pa}, \mu=0{,}018\\ \mathrm{Pa\cdot s}, L=0{,}015\\ \mathrm{m}.
Calcule h^{3}:
h^{3}=(5{,}0\cdot 10^{-6})^{3}=1{,}25\cdot 10^{-16}\\ \mathrm{m^{3}}.
Calcule o numerador \pi R h^{3}\Delta p:
\pi R h^{3}\Delta p = \pi\cdot(0{,}0125)\cdot(1{,}25\cdot 10^{-16})\cdot(18{,}0\cdot 10^{6}).
Passo a passo:
0{,}0125\times 1{,}25\cdot 10^{-16} = 1{,}5625\cdot 10^{-18},
1{,}5625\cdot 10^{-18}\times 18{,}0\cdot 10^{6} = 2{,}8125\cdot 10^{-11},
\pi\times 2{,}8125\cdot 10^{-11} \approx 8{,}8358\cdot 10^{-11}.
Calcule o denominador 6\mu L:
6\mu L = 6\times 0{,}018\times 0{,}015 = 0{,}00162.
Agora Q:
Q=\frac{8{,}8358\cdot 10^{-11}}{0{,}00162}\approx 5{,}4531\cdot 10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 4

Conversões e verificação de validade do modelo (inspeção física):
  • Converter para unidades usuais:
    • Em \mathrm{mL/s}: Q=5{,}4531\cdot 10^{-8}\\ \mathrm{m^3/s}=5{,}4531\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{L/s}=0{,}05453\\ \mathrm{mL/s}.
    • Em \mathrm{mL/min}: Q=0{,}05453\\ \mathrm{mL/s}\times 60 \approx 3{,}2718\\ \mathrm{mL/min}.
  • Vazão mássica (opcional):
    \dot m = \rho Q = 920\\ \mathrm{kg/m^3}\times 5{,}4531\cdot 10^{-8}\\ \mathrm{m^3/s}\approx 5{,}017\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Verificação de regime (Reynolds) para checar hipótese de escoamento laminar / validade da aproximação:
    • Área de passagem aproximada A \approx 2\pi R h = 2\pi(0{,}0125)(5{,}0\cdot 10^{-6})\approx 3{,}9270\cdot 10^{-7}\\ \mathrm{m^2}.
    • Velocidade média U = Q/A \approx (5{,}4531\cdot 10^{-8})/(3{,}9270\cdot 10^{-7})\approx 0{,}1389\\ \mathrm{m/s}.
    • Número de Reynolds baseado na espessura h:
    \mathrm{Re}=\frac{\rho U h}{\mu}=\frac{920\times 0{,}1389\times 5\cdot 10^{-6}}{0{,}018}\approx 0{,}0355\ll 1.
    • Conclusão: escoamento extremamente laminar e a aproximação de lubrificação/placas é válida.

Passo 5

Interpretação final e observações práticas rápidas:
  • O vazamento calculado é pequeno (alguns mL por minuto), compatível com pequenas folgas micrométricas e alta pressão.
  • Dados como temperatura e SG foram registrados; a densidade foi usada apenas para converter para vazão mássica e avaliar Re. A temperatura poderia afetar \mu, mas o problema forneceu \mu já a considerar.
  • As hipóteses feitas: folga estreita ( h\ll R), escoamento estacionário e Newtoniano, fluido incompressível, e uso da aproximação paralelo-placas (teoria de lubrificação). Verificamos que elas são consistentes pelo baixo \mathrm{Re}.

Resposta

\displaystyle Q \approx 5{,}45\cdot 10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}/s} \approx 3{,}27\\ \mathrm{mL/min}

Exercícios relacionados