Questão
. Vazamentos são comuns em sistemas hidráulicos. Considere que um atuador hidráulico está parado e sustentando uma carga. A pressão manométrica de trabalho é de
a uma temperatura de
. O atuador hidráulico é composto de um pistão e cilindro com folga radial de
. Sabendo que o pistão tem 15 mm de comprimento, 25 mm de diâmetro e a pressão do lado de baixa pressão é a atmosférica, determine quanto de fluido hidráulico está vazando. Considere ainda que a densidade do óleo é
e sua viscosidade é de
Pas.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a quantidade de fluido que está vazando (vazamento volumétrico):
- Pressão manométrica do lado de alta pressão:
. - Temperatura:
(informação registrada, não necessária para o cálculo aqui). - Folga radial (entre pistão e cilindro):
. - Comprimento do pistão (comprimento do anel de folga):
. - Diâmetro do pistão:
. Portanto o raio médio . - Pressão do lado de baixa pressão: atmosférica (usada já ao computar
). - Densidade relativa (gravimétrica) do óleo:
→ densidade . - Viscosidade dinâmica do óleo:
.
O que se pede: determinar o vazamento volumétrico
(por exemplo em
ou
) através da folga radial.
Passo 2
Escolha do modelo e formulação (explicação didática e derivação):
-
Motivação do modelo: a folga radial é muito pequena em relação ao raio (
). Nessas condições o escoamento pelo anel fino pode ser aproximado pela teoria de lubrificação, que reduz o problema à equação de Poiseuille entre duas placas paralelas separadas pela distância , com comprimento axial e largura igual à circunferência . Essa aproximação simplifica contas e é a prática comum para vazamentos anulares finos. -
Fluxo entre placas paralelas (recordando a fórmula): para escoamento laminar e estacionário entre duas placas paralelas separadas por distância
, com queda de pressão ao longo do comprimento , o volume por unidade de largura (fluxo por unidade de largura) é
Aqui
tem unidades
(volume por tempo por unidade de largura).
- Converter para o anel circular: a “largura” efetiva do canal é a circunferência
. Então o vazamento volumétrico total é
Simplificando o fator numérico:
- Significado das variáveis:
-
: vazamento volumétrico ( ), -
: raio médio do pistão ( ), -
: folga radial ( ), -
: diferença de pressão entre os lados ( ), -
: viscosidade dinâmica do fluido ( ), -
: comprimento axial do anel ( ).
-
Passo 3
Substituição numérica e cálculo passo a passo:
Dados numéricos já colocados:
,
,
,
,
.
Calcule
:
Calcule o numerador
:
Passo a passo:
Calcule o denominador
:
Agora
:
Passo 4
Conversões e verificação de validade do modelo (inspeção física):
-
Converter para unidades usuais:
- Em
: - Em
:
- Em
-
Vazão mássica (opcional):
-
Verificação de regime (Reynolds) para checar hipótese de escoamento laminar / validade da aproximação:
- Área de passagem aproximada
- Velocidade média
- Número de Reynolds baseado na espessura
:
- Conclusão: escoamento extremamente laminar e a aproximação de lubrificação/placas é válida.
- Área de passagem aproximada
Passo 5
Interpretação final e observações práticas rápidas:
- O vazamento calculado é pequeno (alguns mL por minuto), compatível com pequenas folgas micrométricas e alta pressão.
- Dados como temperatura e SG foram registrados; a densidade foi usada apenas para converter para vazão mássica e avaliar Re. A temperatura poderia afetar
, mas o problema forneceu já a considerar. - As hipóteses feitas: folga estreita (
), escoamento estacionário e Newtoniano, fluido incompressível, e uso da aproximação paralelo-placas (teoria de lubrificação). Verificamos que elas são consistentes pelo baixo .