Um vento moderado acelera um seixo em um plano horizontal xy com uma aceleração constante a⃗ = (5,00 m/s 2)î+ (7,00 m/s 2)ĵ. No instante t = 0, a velocidade é (4,00 m/s)î. Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo da velocidade do seixo após ter se deslocado 12,0 m paralelamente ao eixo x?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um seixo sendo acelerado por um vento em um plano xy com aceleração constante
. No começo, quando $ t = 0 $, a velocidade do seixo é
na direção x. Precisamos descobrir (a) o módulo da velocidade e (b) o ângulo dessa velocidade depois que o seixo se deslocou 12,0 metros paralelamente ao eixo x. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento com aceleração constante e conceitos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o seixo está se movendo em duas direções: x e y. A aceleração é constante em ambas as direções, então podemos tratar cada componente separadamente. Como o deslocamento é apenas no eixo x, vamos começar calculando o tempo que leva para o seixo percorrer esses 12,0 metros na direção x.
Usamos a equação do movimento uniformemente acelerado:
Aqui, $ s_x = 12,0 , m $, $ v_{0x} = 4,00 , m/s $ e $ a_x = 5,00 , m/s^2 $. Vamos resolver essa equação para encontrar o tempo $ t $.
Passo 3
Substituindo os valores na equação:
Isso resulta em uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação para $ t $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 2,50 $, $ b = 4,00 $ e $ c = -12,0 $.
Passo 4
Calculando o discriminante:
Agora, calculamos $ t $:
Desconsideramos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo:
Passo 5
Com o tempo $ t = 1,53 , s $, vamos encontrar as componentes da velocidade na direção x e y no instante em que o seixo percorreu 12,0 m na direção x.
Usamos a equação da velocidade com aceleração constante:
Sabemos que inicialmente $ v_{0y} = 0 $ (já que a velocidade inicial é apenas na direção x).
Passo 6
Calculando $ v_x $:
Calculando $ v_y $:
Passo 7
Agora, temos as componentes da velocidade no instante desejado:
Passo 8
Para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
E para o ângulo, usamos a tangente inversa:
Resposta
(a) O módulo da velocidade do seixo é aproximadamente
.
(b) O ângulo da velocidade em relação ao eixo x é aproximadamente
.