Um vento moderado acelera um seixo em um plano horizontal xy com uma aceleração constante a⃗ = (5,00 m/s 2)î+ (7,00 m/s 2)ĵ. No instante t = 0, a velocidade é (4,00 m/s)î. Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo da velocidade do seixo após ter se deslocado 12,0 m paralelamente ao eixo x?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um seixo sendo acelerado por um vento em um plano xy com aceleração constante a = (5,00 , m/s^2)i + (7,00 , m/s^2)j. No começo, quando $ t = 0 $, a velocidade do seixo é t = 0 na direção x. Precisamos descobrir (a) o módulo da velocidade e (b) o ângulo dessa velocidade depois que o seixo se deslocou 12,0 metros paralelamente ao eixo x. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento com aceleração constante e conceitos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o seixo está se movendo em duas direções: x e y. A aceleração é constante em ambas as direções, então podemos tratar cada componente separadamente. Como o deslocamento é apenas no eixo x, vamos começar calculando o tempo que leva para o seixo percorrer esses 12,0 metros na direção x.
Usamos a equação do movimento uniformemente acelerado:
sx = v0x t + 12 ax t^2
Aqui, $ s_x = 12,0 , m $, $ v_{0x} = 4,00 , m/s $ e $ a_x = 5,00 , m/s^2 $. Vamos resolver essa equação para encontrar o tempo $ t $.

Passo 3

Substituindo os valores na equação:
12,0 = 4,00 , t + 12 times 5,00 times t^2
12,0 = 4,00 , t + 2,50 , t^2
Isso resulta em uma equação quadrática:
2,50 , t^2 + 4,00 , t - 12,0 = 0
Vamos resolver essa equação para $ t $ usando a fórmula de Bhaskara:
t
Onde $ a = 2,50 $, $ b = 4,00 $ e $ c = -12,0 $.

Passo 4

Calculando o discriminante:
De
De
Agora, calculamos $ t $:
t
t = -4,00 pm raiz136,02 times 2,50
Desconsideramos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo:
t = -4,00 pm 11,665,00
t = 7,665,00

Passo 5

Com o tempo $ t = 1,53 , s $, vamos encontrar as componentes da velocidade na direção x e y no instante em que o seixo percorreu 12,0 m na direção x.
Usamos a equação da velocidade com aceleração constante:
t = 1,53 , s
vx = v0x + ax t
Sabemos que inicialmente $ v_{0y} = 0 $ (já que a velocidade inicial é apenas na direção x).

Passo 6

Calculando $ v_x $:
vx
vx = 4,00 + 5,00 times 1,53
vx = 4,00 + 7,65
Calculando $ v_y $:
vx = 11,65 , m/s
vy

Passo 7

Agora, temos as componentes da velocidade no instante desejado:
v = vx i + vy j = 11,65 , i + 10,71 , j , m/s

Passo 8

Para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
|v| = raizvx^2 + vy^2
E para o ângulo, usamos a tangente inversa:
theta = tan^-1 ( vyvx )

Resposta

(a) O módulo da velocidade do seixo é aproximadamente 14,86 , m/s.
(b) O ângulo da velocidade em relação ao eixo x é aproximadamente 42,5^circ.

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