Vera Lúcia, a dona da perfumaria Aroma, estima que, se o preço unitário de um certo perfume for fixado em p reais, conseguirá vender
B(p)=\frac{500}{p+3} \quad p \geq 5
frascos de perfume por mês, a um custo de
C(p)=0,2 p^{2}+3 p+200 \quad \text { reais }
a. Expresse o lucro de Vera Lúcia, P(p), em função do preço p.
b. Com que taxa o lucro está variando em relação a p quando o preço do frasco é \mathrm{R} \ 12,00$ ? Para este preço, o lucro está aumentando ou diminuindo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei tudo do enunciado):
  • A função demanda (número de frascos vendidos por mês) é \displaystyle B(p)=\dfrac{500}{p+3}, válida para p\ge 5.
  • A função custo é \displaystyle C(p)=0,2\,p^{2}+3p+200 (em reais).
    O enunciado pede:
    (a) Expressar o lucro \displaystyle P(p) em função do preço p.
    (b) Calcular a taxa de variação do lucro em relação a p quando p=12 e dizer se, para esse preço, o lucro está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Entendendo as grandezas e montando a receita: a receita mensal R(p) (em reais) é preço vezes quantidade vendida. Ou seja,
R(p)=p\cdot B(p).
Substituindo B(p):
R(p)=p\cdot\frac{500}{p+3}=\frac{500p}{p+3}.
Uma reescrita útil (para derivar mais fácil) é decompor a fração:
\frac{500p}{p+3}=500\cdot\frac{p+3-3}{p+3}=500\left(1-\frac{3}{p+3}\right)=500-\frac{1500}{p+3}.
Essa forma mostra a receita como uma constante menos uma fração, o que facilita a diferenciação.

Passo 3

Definição de lucro e expressão final: o lucro P(p) é a receita menos o custo:
P(p)=R(p)-C(p).
Substituindo as expressões que já temos:
P(p)=\frac{500p}{p+3}-\bigl(0,2\,p^{2}+3p+200\bigr).
Usando a forma R(p)=500-\dfrac{1500}{p+3} fica mais claro:
P(p)=500-\frac{1500}{p+3}-\bigl(0,2\,p^{2}+3p+200\bigr).
Agrupando termos constantes:
P(p)=300-0,2\,p^{2}-3p-\frac{1500}{p+3}.
Essa é uma forma conveniente e equivalente de \,P(p).

Passo 4

O que significa a taxa de variação \,P'(p): é a derivada do lucro em relação ao preço; dizendo de outro jeito, \,P'(p) é quanto (em reais) o lucro muda quando o preço p aumenta de uma unidade (reais). Unidade: \dfrac{\text{R\$}}{\text{R\$}} (valor do lucro por valor do preço).
Agora vamos derivar. Podemos derivar a forma
P(p)=500-\frac{1500}{p+3}-\bigl(0,2\,p^{2}+3p+200\bigr).
Derivando termo a termo:
  • A derivada de 500 é 0.
  • A derivada de -\dfrac{1500}{p+3} usa a regra da potência: \dfrac{d}{dp}\bigl((p+3)^{-1}\bigr)=-1\,(p+3)^{-2}. Logo
\frac{d}{dp}\left(-\frac{1500}{p+3}\right) = -1500\cdot(-1)(p+3)^{-2}=\frac{1500}{(p+3)^{2}}.
  • A derivada de -\bigl(0,2\,p^{2}+3p+200\bigr) é -\bigl(0,4\,p+3\bigr) porque \dfrac{d}{dp}(0,2\,p^{2})=0,4\,p e \dfrac{d}{dp}(3p)=3.
    Portanto
P'(p)=\frac{1500}{(p+3)^{2}}-\bigl(0,4\,p+3\bigr).

Passo 5

Avaliação em p=12. Primeiro calculemos peças:
p+3=12+3=15,\qquad (p+3)^{2}=15^{2}=225.
Logo
\frac{1500}{(p+3)^{2}}=\frac{1500}{225}=\frac{20}{3}.
E
0,4\,p+3=0,4\cdot 12+3=4,8+3=7,8.
Agora subtrair:
P'(12)=\frac{20}{3}-7,8.
Para um valor exato transforme 7,8 em fração: 7,8=\dfrac{78}{10}=\dfrac{39}{5}. Assim
P'(12)=\frac{20}{3}-\frac{39}{5}=\frac{100-117}{15}=-\frac{17}{15}.
Em forma decimal -\dfrac{17}{15}\approx -1,133\ldots.
Interpretação: P'(12)<0, ou seja o lucro está diminuindo quando p=12. Numericamente, se o preço aumentar em R$1 a partir de R$12, o lucro esperado diminui aproximadamente R$1,13.

Resposta

a) \displaystyle P(p)=\frac{500p}{p+3}-\bigl(0,2\,p^{2}+3p+200\bigr)
b) \displaystyle P'(12)=-\frac{17}{15}\approx-1,133\ldots. O lucro está diminuindo para p=12.

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