Vera Lúcia, a dona da perfumaria Aroma, estima que, se o preço unitário de um certo perfume for fixado em
reais, conseguirá vender
frascos de perfume por mês, a um custo de
a. Expresse o lucro de Vera Lúcia,
, em função do preço
.
b. Com que taxa o lucro está variando em relação a
quando o preço do frasco é
12,00$ ? Para este preço, o lucro está aumentando ou diminuindo?
b. Com que taxa o lucro está variando em relação a
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei tudo do enunciado):
- A função demanda (número de frascos vendidos por mês) é
, válida para . - A função custo é
(em reais).
O enunciado pede:
(a) Expressar o lucroem função do preço .
(b) Calcular a taxa de variação do lucro em relação aquando e dizer se, para esse preço, o lucro está aumentando ou diminuindo.
Passo 2
Entendendo as grandezas e montando a receita: a receita mensal
(em reais) é preço vezes quantidade vendida. Ou seja,
Substituindo
:
Uma reescrita útil (para derivar mais fácil) é decompor a fração:
Essa forma mostra a receita como uma constante menos uma fração, o que facilita a diferenciação.
Passo 3
Definição de lucro e expressão final: o lucro
é a receita menos o custo:
Substituindo as expressões que já temos:
Usando a forma
fica mais claro:
Agrupando termos constantes:
Essa é uma forma conveniente e equivalente de
.
Passo 4
O que significa a taxa de variação
: é a derivada do lucro em relação ao preço; dizendo de outro jeito,
é quanto (em reais) o lucro muda quando o preço
aumenta de uma unidade (reais). Unidade:
(valor do lucro por valor do preço).
Agora vamos derivar. Podemos derivar a forma
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
usa a regra da potência: . Logo
- A derivada de
é porque e .
Portanto
Passo 5
Avaliação em
. Primeiro calculemos peças:
Logo
E
Agora subtrair:
Para um valor exato transforme
em fração:
. Assim
Em forma decimal
.
Interpretação:
, ou seja o lucro está diminuindo quando
. Numericamente, se o preço aumentar em R$1 a partir de R$12, o lucro esperado diminui aproximadamente R$1,13.
Resposta
a)
b)
. O lucro está diminuindo para
.