Determine o limite pedido ou informe que o limite não existe. Se o limite for infinito, indique se é +\infty ou -\infty.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x(x-3)}{7-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{x(x-3)}{7-x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função que aparece no limite é a função racional \dfrac{x(x-3)}{7-x^{2}}=\dfrac{x^{2}-3x}{7-x^{2}}.
  • A variável x tende para +\infty (ou seja, x cresce sem limite, assumindo valores positivos muito grandes).

Passo 2

Ideia geral (método): quando x\to\pm\infty para frações racionais, os termos de maior grau em x dominam o comportamento. Uma forma sistemática é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (aqui é x^{2}). Isso transforma a expressão em termos que tendem a zero (como 1/x, 1/x^{2}), tornando o limite fácil de calcular. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escrever a função e dividir numerador e denominador por x^{2}:
\frac{x(x-3)}{7-x^{2}}=\frac{x^{2}-3x}{7-x^{2}} =\frac{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{3x}{x^{2}}}{\dfrac{7}{x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{x^{2}}} =\frac{1-\dfrac{3}{x}}{\dfrac{7}{x^{2}}-1}.

Passo 4

Calcular o limite termo a termo sabendo que, quando x\to+\infty,
\frac{3}{x}\to 0\qquad\text{e}\qquad \frac{7}{x^{2}}\to 0.
Portanto, tomando o limite na expressão obtida:
\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\dfrac{3}{x}}{\dfrac{7}{x^{2}}-1} =\frac{1-0}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1.

Passo 5

Interpretação rápida para conferir: os termos de grau 2 dominam. No numerador o coeficiente do termo x^{2} é 1; no denominador o coeficiente do termo -x^{2} é -1. Como os graus são iguais, o limite é a razão entre os coeficientes principais, isto é \dfrac{1}{-1}=-1. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

-1

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