(Verdadeiro ou falso) Classifique cada sentença como V (verdadeira) ou F (falsa).
i) O domínio de f(x, y)=\ln \left(9-x^{2}-9 y^{2}\right) é dado por 9-x^{2}-9 y^{2}>0.
ii) Se f(x, y) é polinomial, então
\lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)=f(a, b)
iii) Para f(x, y)=3 x-2 y^{4}, tem-se f_{x}(x, y)=3.
iv) A linearização de uma função diferenciável em um ponto é a equação do plano tangente ao gráfico da função nesse ponto.
v) Se z=f(x, y), \operatorname{com} x=x(t) e y=y(t), então
\frac{d z}{d t}=f_{x}(x, y) \frac{d x}{d t}+f_{y}(x, y) \frac{d y}{d t} .
vi) Toda função de duas variáveis possui limite em um ponto sempre que estiver definida nesse ponto.

Passo 1

O enunciado pede: classificar cada sentença (i)–(vi) como verdadeira (V) ou falsa (F). As seis sentenças são:
i) O domínio de f(x,y)=\ln\!\left(9-x^{2}-9y^{2}\right) é dado por 9-x^{2}-9y^{2}>0.
ii) Se f(x,y) é polinomial, então \displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
iii) Para f(x,y)=3x-2y^{4}, tem-se f_{x}(x,y)=3.
iv) A linearização de uma função diferenciável em um ponto é a equação do plano tangente ao gráfico da função nesse ponto.
v) Se z=f(x,y), com x=x(t) e y=y(t), então \displaystyle \frac{dz}{dt}=f_{x}(x,y)\frac{dx}{dt}+f_{y}(x,y)\frac{dy}{dt}.
vi) Toda função de duas variáveis possui limite em um ponto sempre que estiver definida nesse ponto.
Nos passos seguintes eu vou analisar cada sentença, explicar a teoria necessária (sem pressupor que já sabe) e mostrar por que cada sentença é V ou F.

Passo 2

Analisando (i). Regra para logaritmo natural: a função \ln(u) está definida somente quando o argumento u é estritamente positivo, ou seja u>0. Aqui o argumento é u=9-x^{2}-9y^{2}. Então o domínio de f é exatamente o conjunto de pares (x,y) que satisfazem
9-x^{2}-9y^{2}>0.
Observações didáticas rápidas:
  • A desigualdade é estrita porque \ln(0) não existe e \ln de número negativo também não existe no conjunto dos reais.
  • Geometricamente, a condição é o interior da elipse \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{1}<1 (apenas para intuição).
    Conclusão lógica: a sentença (i) afirma precisamente a condição correta do domínio, portanto a sentença é verdadeira.

Passo 3

Analisando (ii). Conceito usado: continuidade e limites. Uma função f(x,y) é contínua num ponto (a,b) se
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
Fatos importantes e fáceis:
  • Polinômios em duas variáveis (por exemplo combinações finitas de termos x^{m}y^{n} com coeficientes) são obtidos por operações de soma e multiplicação de funções básicas x\mapsto x e y\mapsto y.
  • Soma e produto de funções contínuas são contínuos, e funções polinomiais são constituídas exatamente por essas operações, por isso são contínuas em todo ponto do plano.
    Logo, para qualquer polinomial f vale \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b). Portanto a sentença (ii) é verdadeira.

Passo 4

Analisando (iii). Conceito: derivada parcial em relação a x. A derivada parcial f_{x}(x,y) é a derivada de f quando tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x. Fórmula prática: derivar termo a termo em x, e qualquer termo que não dependa de x tem derivada zero.
Aplicando em f(x,y)=3x-2y^{4}:
  • Derivada de 3x em relação a x é 3.
  • O termo -2y^{4} não depende de x (é constante se fixamos y), então sua derivada parcial em relação a x é 0.
    Portanto
f_{x}(x,y)=3+0=3.
A sentença (iii) está correta (verdadeira).

Passo 5

Analisando (iv). Conceitos: linearização e plano tangente.
  • Se f é diferenciável em (a,b), a linearização de f naquele ponto é a aproximação afim (reta/plano) que melhor aproxima f perto de (a,b). A fórmula é
L(x,y)=f(a,b)+f_{x}(a,b)\,(x-a)+f_{y}(a,b)\,(y-b).
  • O gráfico de z=f(x,y) é uma superfície em \mathbb{R}^{3}. O plano dado por z=L(x,y) é exatamente o plano tangente à superfície no ponto (a,b,f(a,b)).
    Explicação intuitiva: a linearização é obtida pela primeira ordem (termos lineares) da expansão de f em torno de (a,b), e esse plano é o que toca a superfície e tem as mesmas inclinações nas direções x e y — isto é, o plano tangente.
    Logo a sentença (iv) é verdadeira.

Passo 6

Analisando (v). Isso é a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Explicação didática:
  • Se z=f(x,y) e x=x(t), y=y(t), então z é função de t via composição z(t)=f\big(x(t),y(t)\big).
  • Uma forma rápida e intuitiva de ver a fórmula é usar diferenciais: supondo f diferenciável,
dz=f_{x}\,dx+f_{y}\,dy.
Dividindo por dt e lembrando que dx/dt e dy/dt existem, obtemos
\frac{dz}{dt}=f_{x}\frac{dx}{dt}+f_{y}\frac{dy}{dt},
onde os f_{x},f_{y} são avaliados no ponto (x(t),y(t)). Alternativamente, pode-se derivar pela definição de derivada e aplicar aproximações lineares. Este é exatamente o enunciado da sentença (v), portanto (v) é verdadeira.

Passo 7

Analisando (vi). A afirmação diz que se uma função de duas variáveis está definida num ponto então necessariamente tem limite naquele ponto. Isso é falso: estar definida num ponto não garante existência do limite — o limite é uma propriedade do comportamento quando se aproxima do ponto, e pode não existir mesmo com valor definido no ponto.
Construção de contraexemplo canônico (simples e didático):
Defina
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
Esta função está definida em (0,0) com valor 0. Agora examine limites por caminhos diferentes:
  • Pela reta y=0: para x\to 0 temos f(x,0)=0. Logo o limite ao longo dessa reta é 0.
  • Pela reta y=x: para x\to 0 temos
f(x,x)=\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}}=\frac{x^{2}}{2x^{2}}=\frac{1}{2}.
Logo o limite ao longo da reta y=x é \tfrac{1}{2}.
Como os limites por caminhos diferentes são distintos ( 0 e \tfrac{1}{2}), o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe, apesar de f(0,0) estar definido. Portanto a sentença (vi) é falsa.]

Resposta

i) V
ii) V
iii) V
iv) V
v) V
vi) F

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