12- Sendo uma função
e a sua conjugada complexa
ambas analiticas num dominio, mostrte que f é constante.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há uma função complexa
escrita em termos das partes reais e imaginárias como , onde e são funções reais de duas variáveis . - A conjugada complexa de
é . - Ambas,
e , são analíticas em um domínio (ou seja, são holomorfas num conjunto aberto e conectado).
O que se pede: mostrar queé constante no domínio.
Passo 2
O que significa “analítica” aqui, em termos de
e
?
- Se
é analítica, então e têm derivadas parciais contínuas e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Explicando devagar:
é a derivada parcial de
em relação a
,
é a derivada parcial de
em relação a
, e o mesmo para
. As equações de Cauchy–Riemann são a condição necessária e suficiente (sob regularidade adequada) para que
seja holomorfa.
Passo 3
Agora escrevemos as equações de Cauchy–Riemann para a conjugada
.
- Para a função
as partes real e imaginária são e . - Aplicando Cauchy–Riemann a
obtemos:
Substituindo
e
isso dá
Passo 4
Compare agora as duas coleções de equações (da
e da
):
- De
temos
- De
temos
Tome a primeira igualdade de cada par:
e
. Somando-as ou observando que as duas só podem ser verdadeiras simultaneamente se
e então
Passo 5
Agora trate a outra igualdade: de
e
segue
e então
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores obtemos
em todo o domínio. Isso significa que as derivadas parciais de
e
são identicamente nulas no domínio. Logo
e
são funções constantes em cada componente conectada do domínio. Como “domínio” significa um conjunto aberto e conectado,
e
são constantes em todo o domínio.
Passo 7
Se
e
são constantes, então
é constante no domínio. Conclusão obtida.