12- Sendo uma função f=u+i v e a sua conjugada complexa f^{-}=u-i v ambas analiticas num dominio, mostrte que f é constante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma função complexa f escrita em termos das partes reais e imaginárias como \;f=u+i v\;, onde u e v são funções reais de duas variáveis x,y.
  • A conjugada complexa de f é \;f^{-}=u-i v\;.
  • Ambas, \;f\; e \;f^{-}\;, são analíticas em um domínio (ou seja, são holomorfas num conjunto aberto e conectado).
    O que se pede: mostrar que \;f\; é constante no domínio.

Passo 2

O que significa “analítica” aqui, em termos de u e v?
  • Se \;f=u+iv\; é analítica, então u e v têm derivadas parciais contínuas e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Explicando devagar: \;u_x\; é a derivada parcial de u em relação a x, \;u_y\; é a derivada parcial de u em relação a y, e o mesmo para \;v_x,\;v_y. As equações de Cauchy–Riemann são a condição necessária e suficiente (sob regularidade adequada) para que u+iv seja holomorfa.

Passo 3

Agora escrevemos as equações de Cauchy–Riemann para a conjugada \;f^{-}=u-iv\;.
  • Para a função \;g:=f^{-}=u+i(-v)\; as partes real e imaginária são U=u e V=-v.
  • Aplicando Cauchy–Riemann a g obtemos:
U_x = V_y,\qquad U_y = -V_x.
Substituindo U=u e V=-v isso dá
u_x = (-v)_y = -v_y,\qquad u_y = -(-v)_x = v_x.

Passo 4

Compare agora as duas coleções de equações (da \;f\; e da \;f^{-}\;):
  • De \;f\; temos
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
  • De \;f^{-}\; temos
u_x = -v_y,\qquad u_y = v_x.
Tome a primeira igualdade de cada par: \;u_x = v_y\; e \;u_x = -v_y\;. Somando-as ou observando que as duas só podem ser verdadeiras simultaneamente se
v_y = -v_y \quad\Rightarrow\quad v_y = 0,
e então
u_x = 0.

Passo 5

Agora trate a outra igualdade: de \;u_y = -v_x\; e \;u_y = v_x\; segue
v_x = -v_x \quad\Rightarrow\quad v_x = 0,
e então
u_y = 0.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores obtemos
u_x = u_y = v_x = v_y = 0
em todo o domínio. Isso significa que as derivadas parciais de u e v são identicamente nulas no domínio. Logo u e v são funções constantes em cada componente conectada do domínio. Como “domínio” significa um conjunto aberto e conectado, u e v são constantes em todo o domínio.

Passo 7

Se u e v são constantes, então \;f=u+iv\; é constante no domínio. Conclusão obtida.

Resposta

f é constante.

Exercícios relacionados