Quando
tem uma representação polar
mostre que:
Passo 1
O enunciado nos dá que
tem representação polar
onde
é o módulo de
e
é o argumento (um número real). A tarefa é mostrar que
Vou interpretar
como o conjugado complexo de
(se o enunciado usa essa notação para o conjugado).
Passo 2
Lembra da fórmula de Euler: para todo
vale
Isto é fundamental para ligar a forma exponencial à forma retangular (a + ib). No contexto polar,
escala a parte real e a parte imaginária e
determina as razões
e
.
Passo 3
Usando Euler, escrevemos
em forma retangular:
Distribuindo
,
Aqui a parte real de
é
e a parte imaginária é
.
Passo 4
Definição do conjugado: se
com
reais, o conjugado de
é
Aplicando isso ao
acima (lembrando que estamos interpretando
como o conjugado), obtemos
Passo 5
Agora usamos Euler para o ângulo negativo: para todo
vale
pois
é par e
é ímpar. Portanto
Combinando com o passo anterior concluímos
Passo 6
Exemplo rápido para fixar: se
, então
Observação útil: o conjugado conserva o módulo (
) e inverte o sinal do argumento (argumento de
é
, modulo
) — isso aparece naturalmente na identidade que provamos.