Quando z tem uma representação polar z=\operatorname{rexp}(i \theta) mostre que:
z^{-}=r \exp (-i \theta) \quad

Passo 1

O enunciado nos dá que z tem representação polar
z = r \exp(i\theta),
onde r\ge 0 é o módulo de z e \theta é o argumento (um número real). A tarefa é mostrar que
z^{-} = r \exp(-i\theta).
Vou interpretar z^{-} como o conjugado complexo de z (se o enunciado usa essa notação para o conjugado).

Passo 2

Lembra da fórmula de Euler: para todo \theta\in\mathbb{R} vale
\exp(i\theta)=\cos\theta + i\sin\theta.
Isto é fundamental para ligar a forma exponencial à forma retangular (a + ib). No contexto polar, r escala a parte real e a parte imaginária e \theta determina as razões \cos\theta e \sin\theta.

Passo 3

Usando Euler, escrevemos z em forma retangular:
z = r\exp(i\theta) = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big).
Distribuindo r,
z = r\cos\theta + i\,r\sin\theta.
Aqui a parte real de z é x = r\cos\theta e a parte imaginária é y = r\sin\theta.

Passo 4

Definição do conjugado: se z = x + i y com x,y reais, o conjugado de z é
\overline{z} = x - i y.
Aplicando isso ao z acima (lembrando que estamos interpretando z^{-} como o conjugado), obtemos
z^{-} = r\cos\theta - i\,r\sin\theta = r\big(\cos\theta - i\sin\theta\big).

Passo 5

Agora usamos Euler para o ângulo negativo: para todo \theta vale
\exp(-i\theta)=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=\cos\theta - i\sin\theta,
pois \cos é par e \sin é ímpar. Portanto
r\big(\cos\theta - i\sin\theta\big)=r\exp(-i\theta).
Combinando com o passo anterior concluímos
z^{-}=r\exp(-i\theta).

Passo 6

Exemplo rápido para fixar: se z=2\exp\big(i\frac{\pi}{3}\big), então
z^{-}=2\exp\big(-i\frac{\pi}{3}\big).
Observação útil: o conjugado conserva o módulo ( |z^{-}|=|z|=r) e inverte o sinal do argumento (argumento de z^{-} é -\theta, modulo 2\pi) — isso aparece naturalmente na identidade que provamos.

Resposta

z^{-}=r \exp(-i\theta)

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