Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se existirem \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) e \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), então também existe \lim _{x \rightarrow a} f(x).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa e justificar a resposta:
“Afirmativa: Se existirem \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x), então também existe \lim_{x\to a} f(x).”
Informações relevantes dadas:
  • Existe a \emph{limite à esquerda} \lim_{x\to a^-} f(x).
  • Existe a \emph{limite à direita} \lim_{x\to a^+} f(x).
  • É preciso decidir se, a partir disso, sempre existe a \emph{limite bilateral} \lim_{x\to a} f(x).

Passo 2

Vamos lembrar direitinho o que significam essas coisas — com definição e ideia fácil de entender.
Definição informal (mas precisa) de limite unilateral:
  • Dizer que \lim_{x\to a^-} f(x)=L_1 significa: ao aproximar x de a vindo pela esquerda (valores de x<a), os valores de f(x) se aproximam de L_1.
  • Dizer que \lim_{x\to a^+} f(x)=L_2 significa: ao aproximar x de a vindo pela direita (valores de x>a), os valores de f(x) se aproximam de L_2.
Definição informal de limite bilateral:
  • Dizer que \lim_{x\to a} f(x)=L significa: ao aproximar x de a por qualquer lado (direita ou esquerda), os valores de f(x) se aproximam de L.
Teorema fundamental (que é útil e será provado em linhas gerais no próximo passo):
  • A \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a L se, e somente se, ambos \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x) existem e são iguais entre si (ou seja, L_1=L_2=L).

Passo 3

Vou mostrar a prova do teorema acima de forma direta — isso é importante para entender por que a afirmativa do enunciado, como está escrita, pode estar errada.
  1. Se \lim_{x\to a} f(x)=L então, ao restringir as aproximações a x<a ou a x>a, naturalmente obtemos \lim_{x\to a^-} f(x)=L e \lim_{x\to a^+} f(x)=L. Ou seja, existência do limite bilateral implica existência das duas unilaterais e ambas iguais a L.
  2. Agora a conversão inversa: suponha que \lim_{x\to a^-} f(x)=L e \lim_{x\to a^+} f(x)=L (mesmo valor L). Pela definição \varepsilon- \delta: para qualquer \varepsilon>0 existe \delta_1>0 tal que se a-\delta_1<x<a então |f(x)-L|<\varepsilon; e existe \delta_2>0 tal que se a<x<a+\delta_2 então |f(x)-L|<\varepsilon. Tomando \delta=\min(\delta_1,\delta_2) obtemos que para todo x com 0<|x-a|<\delta vale |f(x)-L|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de \lim_{x\to a} f(x)=L. Logo, se as duas unilaterais existem e são iguais, a bilateral existe e é igual a esse mesmo valor.
Conclusão desse passo: a existência das duas unilaterais não basta por si só — é preciso que elas coincidam. A condição correta é: “as duas unilaterais existem e são iguais” => limite bilateral existe.

Passo 4

Com a teoria pronta, vemos que a afirmativa do enunciado (que só diz que as unilaterais existem, sem exigir que sejam iguais) está incompleta e, portanto, falsa. Para tornar isso cristalino, vamos dar um contraexemplo simples e explícito — isso é a maneira mais direta de refutar uma afirmação universal.
Considere a função definida por
f(x)=\begin{cases} 1, & \text{se } x<a,\\[4pt] 0, & \text{se } x>a. \end{cases}
(O valor de f(a) em x=a não importa para limites; pode ser qualquer número.)
Agora calculamos as unilaterais:
  • Ao aproximar x de a vindo da esquerda, f(x)=1 para todos os pontos suficientemente próximos pela esquerda, então
\lim_{x\to a^-} f(x)=1.
  • Ao aproximar x de a vindo da direita, f(x)=0 para todos os pontos suficientemente próximos pela direita, então
\lim_{x\to a^+} f(x)=0.
Portanto, as duas unilaterais existem, mas são diferentes: 1\neq 0. Pelo teorema do passo anterior, a \lim_{x\to a} f(x) não existe (porque não há um único L comum). Assim a afirmativa original é falsa: ter as duas unilaterais existindo não garante a existência do limite bilateral — elas também devem ser iguais.]

Passo 5

Dicas práticas para a prova (como aplicar isso rápido no exame):
  • Sempre que te pedirem se \lim_{x\to a} f(x) existe, calcule ou verifique \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x). Se uma delas não existir, a bilateral não existe; se ambas existirem, compare os valores. Só se forem iguais a mesma coisa existe.
  • Para refutar uma afirmação universal (tipo “se… então sempre…”), basta um contraexemplo. O exemplo da função com salto (valor constante diferente à esquerda e à direita) é o mais comum e fácil de usar.
Força aí — essa ideia de checar as unilaterais e compará-las é coisa que cai muito na prova e salva tempo quando feita com prática.

Resposta

Falso.

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