Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se existirem
e
, então também existe
.
Se existirem
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa e justificar a resposta:
“Afirmativa: Se existirem
e
, então também existe
.”
Informações relevantes dadas:
- Existe a \emph{limite à esquerda}
. - Existe a \emph{limite à direita}
. - É preciso decidir se, a partir disso, sempre existe a \emph{limite bilateral}
.
Passo 2
Vamos lembrar direitinho o que significam essas coisas — com definição e ideia fácil de entender.
Definição informal (mas precisa) de limite unilateral:
- Dizer que
significa: ao aproximar de vindo pela esquerda (valores de ), os valores de se aproximam de . - Dizer que
significa: ao aproximar de vindo pela direita (valores de ), os valores de se aproximam de .
Definição informal de limite bilateral:
- Dizer que
significa: ao aproximar de por qualquer lado (direita ou esquerda), os valores de se aproximam de .
Teorema fundamental (que é útil e será provado em linhas gerais no próximo passo):
- A
existe e é igual a se, e somente se, ambos e existem e são iguais entre si (ou seja, ).
Passo 3
Vou mostrar a prova do teorema acima de forma direta — isso é importante para entender por que a afirmativa do enunciado, como está escrita, pode estar errada.
-
Se
então, ao restringir as aproximações a ou a , naturalmente obtemos e . Ou seja, existência do limite bilateral implica existência das duas unilaterais e ambas iguais a . -
Agora a conversão inversa: suponha que
e (mesmo valor ). Pela definição - : para qualquer existe tal que se então ; e existe tal que se então . Tomando obtemos que para todo com vale . Isso é exatamente a definição de . Logo, se as duas unilaterais existem e são iguais, a bilateral existe e é igual a esse mesmo valor.
Conclusão desse passo: a existência das duas unilaterais não basta por si só — é preciso que elas coincidam. A condição correta é: “as duas unilaterais existem e são iguais” => limite bilateral existe.
Passo 4
Com a teoria pronta, vemos que a afirmativa do enunciado (que só diz que as unilaterais existem, sem exigir que sejam iguais) está incompleta e, portanto, falsa. Para tornar isso cristalino, vamos dar um contraexemplo simples e explícito — isso é a maneira mais direta de refutar uma afirmação universal.
Considere a função definida por
(O valor de
em
não importa para limites; pode ser qualquer número.)
Agora calculamos as unilaterais:
- Ao aproximar
de vindo da esquerda, para todos os pontos suficientemente próximos pela esquerda, então
- Ao aproximar
de vindo da direita, para todos os pontos suficientemente próximos pela direita, então
Portanto, as duas unilaterais existem, mas são diferentes:
. Pelo teorema do passo anterior, a
não existe (porque não há um único
comum). Assim a afirmativa original é falsa: ter as duas unilaterais existindo não garante a existência do limite bilateral — elas também devem ser iguais.]
Passo 5
Dicas práticas para a prova (como aplicar isso rápido no exame):
- Sempre que te pedirem se
existe, calcule ou verifique e . Se uma delas não existir, a bilateral não existe; se ambas existirem, compare os valores. Só se forem iguais a mesma coisa existe. - Para refutar uma afirmação universal (tipo “se… então sempre…”), basta um contraexemplo. O exemplo da função com salto (valor constante diferente à esquerda e à direita) é o mais comum e fácil de usar.
Força aí — essa ideia de checar as unilaterais e compará-las é coisa que cai muito na prova e salva tempo quando feita com prática.
Resposta
Falso.