Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{2 x} f(x, y) d y d x=\int_{x^{2}}^{2 x} \int_{0}^{1} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para determinar se vale
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{2x}f(x,y)\,dy\,dx = \int_{x^{2}}^{2x}\int_{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.
O conteúdo envolve troca de ordem de integração em integrais duplos e aplicação do Teorema de Fubini.

Passo 2

Primeiro identifiquemos a região de integração R definida por
0 \le x \le 1,\quad x^{2}\le y\le 2x.
No plano (x,y), R é a região limitada pelas curvas y=x^{2}, y=2x e pelas retas verticais x=0 e x=1.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração corretamente, devemos descrever R em termos de y primeiro. Observamos que, em R,
y_{\min}=\min_{0\le x\le1}x^{2}=0, \quad y_{\max}=\max_{0\le x\le1}2x=2.
Para cada y\in[0,2], a condição x^{2}\le y\le2x equivale a
y/2 \le x \le \sqrt{y}.
Logo, pela Fubini,
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{2x}f(x,y)\,dy\,dx = \int_{0}^{2}\int_{y/2}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\,dy.

Passo 4

A integral proposta no enunciado após a troca seria
\int_{x^{2}}^{2x}\int_{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy,
porém os limites externos ainda dependem de x, o que não faz sentido para uma integração em y. Os limites corretos em y são de 0 a 2, não de x^{2} a 2x. Portanto, a expressão dada está errada.
Como teste simples, tome f(x,y)=1. O lado esquerdo vira a área de R:
\int_{0}^{1}(2x-x^{2})\,dx = \Bigl[x^{2}-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} = 1-\tfrac13 = \tfrac23.
O lado direito, com limites que dependem de x, nem é bem definido. Logo, a igualdade não vale.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados