Calcule \iint_{R} x\left(1+y^{2}\right)^{-1 / 2} d A; R é a região do primeiro quadrante compreendida por y=x^{2}, y=4 e x=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R} x\,(1+y^{2})^{-1/2}\,dA,
onde R está no primeiro quadrante e é limitada por \,y=x^{2}, \,y=4 e \,x=0.
O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Descrevemos R fixando y: como x vai de 0 até \sqrt{y} e y de 0 a 4,
\iint_{R} x\,(1+y^{2})^{-1/2}\,dA =\int_{y=0}^{4}\!\int_{x=0}^{\sqrt{y}} x\,(1+y^{2})^{-1/2}\,dx\,dy.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em x, com y constante:
\int_{0}^{\sqrt{y}} x\,dx =\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{\sqrt{y}} =\frac{y}{2}.
Logo a integral vira
\frac{1}{2}\int_{0}^{4}\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy.

Passo 4

Para a integral em y, usamos t=1+y^{2}, dt=2y\,dy:
\int_{0}^{4}\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy =\int_{t=1}^{17}t^{-1/2}\,\frac{dt}{2} =\left.\sqrt{t}\right|_{1}^{17} =\sqrt{17}-1.
Multiplicando por \tfrac12 resulta \tfrac12(\sqrt{17}-1).

Resposta

\frac{\sqrt{17}-1}{2}.

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