Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se vale
O conteúdo envolve troca de ordem de integração em integrais duplos e aplicação do Teorema de Fubini.
Passo 2
Primeiro identifiquemos a região de integração
definida por
No plano
,
é a região limitada pelas curvas
,
e pelas retas verticais
e
.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração corretamente, devemos descrever
em termos de
primeiro. Observamos que, em
,
Para cada
, a condição
equivale a
Logo, pela Fubini,
Passo 4
A integral proposta no enunciado após a troca seria
porém os limites externos ainda dependem de
, o que não faz sentido para uma integração em
. Os limites corretos em
são de
a
, não de
a
. Portanto, a expressão dada está errada.
Como teste simples, tome
. O lado esquerdo vira a área de
:
O lado direito, com limites que dependem de
, nem é bem definido. Logo, a igualdade não vale.
Resposta
Falso.