Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se uma região
for delimitada abaixo por
e acima por
, então
Se uma região
Passo 1
O enunciado nos fala de uma região
do plano delimitada verticalmente por
e, para cada
nesse intervalo, verticalmente entre
O conteúdo é integração dupla em uma região do tipo I (região simples em
). Queremos ver se
Passo 2
Vamos descrever rigorosamente a região
. Por definição,
Sob condições usuais de continuidade (ou integrabilidade) de
,
e
,
é uma região do tipo I.
Passo 3
Pelo Teorema de Fubini (ou Teorema de Tonelli, no caso de
não negativa), quando integramos
sobre uma região do tipo I, podemos escrever a integral dupla como iterada em
e depois em
. Isto é exatamente
Passo 4
Não há nenhuma sutileza extra além de garantirmos que
seja integrável em
e que
. Logo, a igualdade dada é válida sempre que
for esse tipo de região.
Resposta
Verdadeiro.