Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se uma região R for delimitada abaixo por y=g_{1}(x) e acima por y=g_{2}(x) \operatorname{com} a \leq x \leq b, então
\iint_{R} f(x, y) d A=\int_{a}^{b} \int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado nos fala de uma região R do plano delimitada verticalmente por
a \le x \le b,
e, para cada x nesse intervalo, verticalmente entre
y = g_{1}(x) \quad\text{e}\quad y = g_{2}(x).
O conteúdo é integração dupla em uma região do tipo I (região simples em x). Queremos ver se
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{a}^{b}\!\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x,y)\,dy\,dx.

Passo 2

Vamos descrever rigorosamente a região R. Por definição,
R = \bigl\{(x,y)\mid a \le x \le b,\;g_{1}(x)\le y \le g_{2}(x)\bigr\}.
Sob condições usuais de continuidade (ou integrabilidade) de f, g_{1} e g_{2}, R é uma região do tipo I.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini (ou Teorema de Tonelli, no caso de f não negativa), quando integramos f sobre uma região do tipo I, podemos escrever a integral dupla como iterada em y e depois em x. Isto é exatamente
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=a}^{x=b}\Biggl(\int_{y=g_{1}(x)}^{y=g_{2}(x)} f(x,y)\,dy\Biggr)dx.

Passo 4

Não há nenhuma sutileza extra além de garantirmos que f seja integrável em R e que g_{1}\le g_{2}. Logo, a igualdade dada é válida sempre que R for esse tipo de região.

Resposta

Verdadeiro.

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